Кубика

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Набор кубик

Куби́ка или ку́бика — плоская алгебраическая кривая 3-го порядка, то есть множество точек плоскости (проективной или аффинной), заданных кубическим уравнением

которое применяется к однородным координатам на проективной плоскости. Чтобы перейти к аффинной версии, достаточно положить z = 1.

Иногда кубикой также называют гиперповерхность 3-го порядка в пространстве произвольной размерности[1].

Ударение[править | править вики-текст]

В Математическом энциклопедическом словаре приведено ударение «куби́ка»[1]. Тем не менее, употребляется произношение с ударением на первый слог: «ку́бика»[2][3][4][5][6].

Классификация[править | править вики-текст]

Первая классификация кубик была дана Ньютоном в 1704 году[7].

Ньютон доказал, что для любой кубики можно подобрать систему координат, в которой она будет иметь один из следующих видов:

  • ;
  • ;
  • ;
  • .

Далее Ньютон поделил все кривые на классы, роды и типы, пропустив при этом, однако, 6 типов. Полную классификацию дал Плюккер[8].

По состоянию на 2008 год, аналогичной классификации для кривых n-го порядка не найдено, эта задача составляет 16-ю проблему Гильберта.

Свойства[править | править вики-текст]

Кубика y 2 = x 2 · (x + 1). Параметризация: t → (t 2 − 1, t · (t 2 − 1))
  • Теорема о девяти точках на кубике (теорема Шаля): даны две кубики A и B, имеющие 9 общих точек. Если третья кубика С проходит через 8 из них, то она проходит и через девятую.
  • На кубике взяли точку A, и провели из неё 2 касательных к кубике — одна касается кубики в точке A, другая — в точке B. Пусть площади сегментов, отсекаемых этими касательными от графика кубики, равны X и Y. Тогда X = 16Y[9].
  • Известно, что некоторые кубики являются трисектрисами, то есть если на плоскости нарисован график такой кубики, и дан угол, то его можно разделить циркулем и линейкой на 3 равные части. Открытая проблема: любая ли кубика является трисектрисой?
  • Максимально возможное число компонент связности у графика кубики в ℝ² есть 4. Например: у кубики f (x, y) = 3x 3 5y 2x 4x 2 10yx + 10y 2 6x + 20y + 12 график состоит из трёх удаляющихся на бесконечность кривых и одной изолированной точки.
  • Если прямая проходит через две точки перегиба кубики, то она проходит и через третью.
  • На кубиках можно ввести сложение точек и умножение их на число, получив тем самым алгебраическую структуру, называемую эллиптической кривой[10][11].
  • Прямая пересекает кубику в точках A, B, C. Касательные, восстановленные к кубике в точках A, B, C, пересекают кубику второй раз в точках P, Q, R. Тогда точки P, Q, R также лежат на одной прямой[12][13].

Применения[править | править вики-текст]

  • Кубические кривые применяются в языке PostScript, включая шрифты формата Type 1 (в TrueType используются только квадратичные кривые).
  • Изучение кубик долгое время считалось примером чистой математики (не имеющей никакого прикладного применения и перспективы такового). Однако, в последние 20 лет XX века были придуманы криптографические алгоритмы, использующие глубокие свойства кубик, которые сегодня используются (в частности) при банковском шифровании, что дало толчок изучению свойств кубик, см. Эллиптическая криптография.
  • Большое число замечательных точек треугольника складываются в несколько кубик[14].
  • Фрэнк Морли доказал известную теорему, названную в его честь, изучая свойства кубик[15].

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — С. 304,55. — 845 с.
  2. А. Н. Паршин. Теория представлений групп и алгебраическая геометрия на YouTube
  3. С. С. Галкин. Алгебраические поверхности. Лекция 3. на YouTube
  4. Г. Б. Шабат. Вокруг Понселе. Лекция 4. Видеотека Общероссийского математического портала (в 20 мин 18 сек)
  5. С. М. Львовский Двадцать семь прямых. Занятие 3. Видеотека Общероссийского математического портала (в 36 мин 15 сек)
  6. С. А. Локтев. Теория представлений групп и алгебраическая геометрия на YouTube
  7. «Enumeratio linearum tertii ordinis» (имеется русский перевод «Перечисление кривых третьего порядка» в книге Д. Д. Мордухай-Болтовского «Исаак Ньютон. Математические работы», стр. 194—209, доступны on-line постранично на [1]).
  8. Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых третьего порядка. — М.: Физматгиз, 1961.
  9. Honsberger R. More Mathematical Morsels // Math. Assoc. Amer. — Washington, DC, 1991. — p. 114—118.
  10. Острик В. В., Цфасман М. А. Алгебраическая геометрия и теория чисел: рациональные и эллиптические кривые. — М.: МЦНМО, 2010. — 48 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — ISBN 5-900916-71-5.
  11. Соловьёв Ю. П. Рациональные точки на эллиптических кривых // Соросовский образовательный журнал. — 1997. — № 10. — С. 138—143.
  12. The Cubic Curve and an Associated Structure by D. S. Macnab, The Mathematical Gazette Vol. 50, No. 372 (May, 1966), pp. 105—110 Published by: Mathematical Association DOI: 10.2307/3611930 Page Count: 6.
  13. См. также Weisstein, Eric W. Cubic Curve (англ.) на сайте Wolfram MathWorld., [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10].
  14. См. [11] и [12].
  15. См. его работы [13].

Ссылки[править | править вики-текст]

  • Библиотеки для интерактивного рисования кубик (без изолированных точек) на языках Flash и Java.