Кубика

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Набор кубик

Куби́ка — плоская алгебраическая кривая 3-го порядка, то есть множество точек плоскости (проективной или аффинной), заданных кубическим уравнением

F \left( x,y,z \right) = 0

которое применяется к однородным координатам на проективной плоскости, чтобы перейти к аффинной версии, достаточно положить z = 1. Иногда кубикой также называют гиперповерхность 3-го порядка в пространстве произвольной размерности[1].

Классификация[править | править вики-текст]

Первая классификация кубик была дана Ньютоном в 1704 году[2].

Ньютон доказал, что для любой кубики можно подобрать систему координат, в которой она будет иметь один из следующих видов:

  • xy^2+ey\,=\,ax^3+bx^2+cx+d;
  • xy\,=\,ax^3+bx^2+cx+d;
  • y^2\,=\,ax^3+bx^2+cx+d;
  • y\,=\,ax^3+bx^2+cx+d.

Далее Ньютон поделил все кривые на классы, роды и типы, пропустив при этом, однако, 6 типов. Полную классификацию дал Плюккер[3].

По состоянию на 2008 год, аналогичной классификации для кривых n-го порядка не найдено, эта задача составляет 16-ю проблему Гильберта.

Свойства[править | править вики-текст]

Кубика y 2 = x 2 · (x + 1). Параметризация: t → (t 2 − 1, t · (t 2 − 1))
  • Теорема о девяти точках на кубике (теорема Шаля): даны две кубики A и B, имеющие 9 общих точек. Если третья кубика С проходит через 8 из них, то она проходит и через девятую.
  • На кубике взяли точку A, и провели из неё 2 касательных к кубике — одна касается кубики в точке A, другая — в точке B. Пусть площади сегментов, отсекаемых этими касательными от графика кубики, равны X и Y. Тогда X = 16Y[4].
  • Известно, что некоторые кубики являются трисектрисами, то есть если на плоскости нарисован график такой кубики, и дан угол, то его можно разделить циркулем и линейкой на 3 равные части. Открытая проблема: любая ли кубика является трисектрисой?
  • Максимально возможное число компонент связности у графика кубики в ℝ² есть 4. Например: у кубики f (x, y) = 3x 3 5y 2x 4x 2 10yx + 10y 2 6x + 20y + 12 график состоит из трёх удаляющихся на бесконечность кривых и одной изолированной точки.
  • Если прямая проходит через две точки перегиба кубики, то она проходит и через третью.
  • На кубиках можно ввести сложение точек и умножение их на число, получив тем самым алгебраическую структуру, называемую эллиптической кривой[5][6].
  • Прямая пересекает кубику в точках A, B, C. Касательные, восстановленные к кубике в точках A, B, C, пересекают кубику второй раз в точках P, Q, R. Тогда точки P, Q, R также лежат на одной прямой[7][8].

Применения[править | править вики-текст]

  • Кубические кривые применяются в языке PostScript, включая шрифты формата Type 1 (в TrueType используются только квадратичные кривые).
  • Изучение кубик долгое время считалось примером чистой математики (не имеющей никакого прикладного применения и перспективы такового). Однако, в последние 20 лет XX века были придуманы криптографические алгоритмы, использующие глубокие свойства кубик, которые сегодня используются (в частности) при банковском шифровании, что дало толчок изучению свойств кубик, см. Эллиптическая криптография.
  • Большое число замечательных точек треугольника складываются в несколько кубик[9].
  • Фрэнк Морли доказал известную теорему, названную в его честь, изучая свойства кубик[10].

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — С. 304,55. — 845 с.
  2. «Enumeratio linearum tertii ordinis» (имеется русский перевод «Перечисление кривых третьего порядка» в книге Д. Д. Мордухай-Болтовского «Исаак Ньютон. Математические работы», стр. 194—209, доступны on-line постранично на [1]).
  3. Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых третьего порядка. — М.: Физматгиз, 1961.
  4. Honsberger R. More Mathematical Morsels // Math. Assoc. Amer. — Washington, DC, 1991. — p. 114—118.
  5. Острик В. В., Цфасман М. А. Алгебраическая геометрия и теория чисел: рациональные и эллиптические кривые. — М.: МЦНМО, 2010. — 48 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — ISBN 5-900916-71-5.
  6. Соловьёв Ю. П. Рациональные точки на эллиптических кривых // Соросовский образовательный журнал. — 1997. — № 10. — С. 138—143.
  7. [2].
  8. См. также Weisstein, Eric W. Cubic Curve (англ.) на сайте Wolfram MathWorld., [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11].
  9. См. [12] и [13].
  10. См. его работы [14].

Ссылки[править | править вики-текст]

  • Библиотеки для интерактивного рисования кубик (без изолированных точек) на языках Flash и Java.