Кубическое уравнение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
График кубической функции y=(x^3+3x^2-6x-8)/4, у которой 3 действительных корня (в месте пересечения горизонтальной оси, где у = 0). Имеются 2 критические точки
Уравнение 8x^3 + 7x^2 - 4x + 1 имеет один действительный и два мнимых корня.

Куби́ческое уравне́ние — алгебраическое уравнение третьей степени, общий вид которого следующий:

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, \; a \ne 0.

Для графического анализа кубического уравнения в декартовой системе координат используется кубическая парабола.

Кубическое уравнение общего вида может быть приведено к каноническому виду при x = y - \tfrac{b}{3a}:

y^3 + py + q = 0,\,

где

q = \frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a} = \frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{27a^3},
p = \frac{c}{a} - \frac{b^2}{3a^2} = \frac{3ac - b^2}{3a^2}.

История[править | править вики-текст]

Кубические уравнения были известны ещё в древнем Вавилоне, древним грекам, китайцам, индийцам и египтянам.[1][2][3] Были найдены клинописные таблички времён вавилонского царства (20-16 век до нашей эры), содержащие таблицы вычисления кубов и кубических корней.[4][5] Вавилоняне могли использовать эти таблицы для решения кубических уравнений, но не существует никаких свидетельств, что они это делали.[6] Задача удвоения куба использует простейшее и наиболее старое из кубических уравнений и древние египтяне не верили, что решение его существует.[7] В пятом веке до нашей эры, Гиппократ свёл эту задачу к нахождению двух средних пропорциональных между одним отрезком и другим, вдвое большим его, но не смог решить её с помощью циркуля и линейки,[8] что, как теперь известно, невозможно сделать. Методы решения кубических уравнений появляются в китайском математическом тексте Математика в девяти книгах, составленном около второго столетия до нашей эры и прокомментированный китайским математиком Лю Хуэйем в третьем столетии.[2] В третьем столетии древнегреческий математик Диофант нашёл целые и рациональные решения для некоторых кубических уравнениё с двумя неизвестными (диофантовых уравнений).[3][9] Гиппократ, Менехм и Архимед верили, что можно ближе подойти к решению задачи об удвоении куба с помощью конических сечений,[8] хотя историки, такие как Ревиль Нетц (Reviel Netz), спорят, думали ли греки о кубических уравнениях, или просто о задачах, которые могут привести к кубическим уравнениям. Другие, как например, Хис (T. L. Heath), переведший все труды Архимеда, не соглашается, указывая на свидетельство, что Архимед действительно решал кубические уравнения с помощью пересечения двух конусов, но при этом указывет, что корнями были числа 0, 1 или 2.[10]

В седьмом столетии во времена династии Тан астроном и математик Ван Ксаотон (Wang Xiaotong) в своём математическом трактате, озаглавленном Jigu Suanjing изложил и решил 25 кубических уравнений вида x^3+px^2+qx=N, в 23 из которых p,q \ne 0, и в двух уравнениях q = 0.[11]

В одиннадцатом столетии персидский поэт и математик Омар Хайям (1048–1131) сделал существенный прогресс в теории кубических уравнений. В ранних работах, посвящённых кубическим уравнениям, он обнаружил, что кубическое уравнение может иметь более одного решения и утверждал, что уравнение не может быть решено с помощью циркуля и линейки. Он также нашёл геометрическое решение.[12][13] В его более позднем труде, Трактат о демонстрации задач алгебры, он описал полную классификацию кубических уравнений с их общими геометрическими решениями, использующими пересечения конических сечений.[14][15]

В двенадцатом столетии индийский математик Бхаскара II пытался решать кубические уравнения без особых успехов. Однако он привёл один пример кубического уравнения:[16]

x^3+12x=6x^2+35 \,

В том же столетии другой, персидский, математик, Шараф ад-Дин (1135–1213), написал Al-Mu'adalat (Трактат об уравнениях), в котором говорится о восьми типах кубических уравнений с положительными решениями и о пяти типах, не имеющих положительных решений. Он использовал подход, который позднее стал известен как метод "Руффини[en]-Горнера" для численной аппроксимации корня кубического уравнения. Он разработал также концепцию производной функции и экстремумов кривой для решения кубических уравнений, которые могут не иметь положительных значений.[17] Он понял важность дискриминанта кубического уравнения для нахождения алгебраического решения некоторых типов кубических уравнений.[18]

Леонардо Пизанский, известный также как Фибоначчи (1170–1250), умел находить положительные решения кубического уравнения x3 + 2x2 + 10x = 20 с помощью вавилонских цифр. Он указал решение 1,22,7,42,33,4,40 (что эквивалентно 1 + 22/60 + 7/602 + 42/603 + 33/604 + 4/605 + 40/606),[19] что отличается от точного решения только на три триллионных.

В начале шестнадцатого века итальянский математик Сципион Дель Ферро (1465–1526) нашёл метод решения класса кубических уравнений, а именно, вида x3 + mx = n. Фактически, все кубические уравнения можно свести к такому виду если мы разрешим m и n быть отрицательными, но отрицательные числа в то время ещё не были известны. Дель Ферро держал своё открытие в секрете, пока не рассказал о нём перед свой смертью своему студенту Антонио Фиоре (Antonio Fiore).

Никколо Фонтана Тарталья

В 1530, Николо Тарталья (1500–1557) получил две задачи в виде кубических уравнений от Дзуанне да Кои (Zuanne da Coi) и объявил, что он их может решить. Он вскоре был вызван на соревнование Фиоре, которое привело к знаменитому соревнованию между двумя. Каждый должен был вложить некоторую сумму денег и предложить некоторое число задач сопернику для решения. Тот, кто решит больше задач за 30 дней забирает все деньги. Тарталья получил задачи в виде x3 + mx = n, для которых он разработал общий метод. Фиоре получил задачи в виде x3 + mx2 = n, которые оказались слишком сложными для него и Тарталья выиграл соревнование.

Позднее Джероламо Кардано (1501–1576) пытался убедить Тарталья раскрыть секрет решения кубических уравнений. В 1539 Тарталья сделал это, но под условием, что Кардано никогда его не откроет и если он обнаружит книгу о кубических уравнениях, он даст время Тарталья опубликовать метод. Через несколько лет Кардано узнал о работах Ферро и опубликовал метод Ферро в своей книге Ars Magna[en] в 1545, что означает, что Кардано дал Тарталья 6 лет, чтобы опубликовать свои результаты (с упоминанием Тарталья как о независимом решении). Кардано обещал, что не опубликует работу Тарталья, но опубликовал результаты Дель Ферро, тем самым обойдя обещание. Тем не менее, Тарталья вызвал Кардано на соревнование, которое Кардано отверг. Вызов, в конце концов, принял студент Кардано Лодовико Феррари (1522–1565). Феррари в соревновании оказался лучше, так что Тарталья потерял и свой престиж, и деньги.[20]

Кардано заметил, что метод Тарталья иногда требует извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Он даже включил вычисления с этими комплексными числами в Ars Magna, но, на самом деле, не понял. Рафаэль Бомбелли изучал эту проблему детально, а потому считается открывателем комплексных чисел.

Франсуа Виет (1540–1603) независимо вывел тригонометрическое решение кубического уравнения с тремя действительными корнями, а Рене Декарт (1596–1650) углубил работу Виета. [21]

Корни уравнения[править | править вики-текст]

Число x, обращающее уравнение в тождество, называется корнем или решением уравнения. Оно является также корнем многочлена третьей степени, стоящего в левой части канонической записи.

Над полем комплексных чисел, согласно основной теореме алгебры, кубическое уравнение всегда имеет 3 корня (с учётом кратности).

Так как каждый вещественный многочлен нечётной степени имеет хотя бы один вещественный корень, все возможные случаи состава корней кубического уравнения исчерпываются тремя, описанными ниже. Эти случаи легко различаются с помощью дискриминанта

 \Delta = -4b^3d + b^2c^2 - 4ac^3 + 18abcd - 27a^2d^2.

Итак, возможны только три случая:

  • Если Δ > 0, тогда уравнение имеет три различных вещественных корня.
  • Если Δ < 0, то уравнение имеет один вещественный и пару комплексно сопряжённых корней.
  • Если Δ = 0, тогда хотя бы два корня совпадают. Это может быть, когда уравнение имеет двойной вещественный корень и ещё один отличный от них вещественный корень; либо, все три корня совпадают, образуя корень кратности 3. Разделить эти два случая помогает результант кубического уравнения и его второй производной: у многочлена есть корень кратности 3 тогда и только тогда, когда указанный результант также равен нулю.

По теореме Виета корни кубического уравнения x_1,\,x_2,\,x_3 связаны с коэффициентами a,\,b,\,c,\,d следующими соотношениями[22]:

x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a},
x_1x_2 + x_2x_3 + x_1x_3 = \frac{c}{a},
x_1\,x_2\,x_3 = -\frac{d}{a}.

Делением указанных тождеств друг на друга можно получить ещё несколько справедливых соотношений:

\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} = -\frac{c}{d},\quad d\ne0,
\frac{1}{x_1x_2} + \frac{1}{x_2x_3} + \frac{1}{x_1x_3} = \frac{b}{d},\quad d\ne0.

Методы решения[править | править вики-текст]

Точные методы решения:

Также можно применять численные методы решения уравнений.

Подстановка Виета[править | править вики-текст]

Как указывалось выше, любое кубическое уравнение можно привести к виду

t^3 + pt + q = 0,

Сделаем подстановку, известную как подстановка Виета:

t = w - \frac{p}{3w}

В результате получим уравнение

w^3 + q - \frac{p^3}{27w^3} = 0.

Умножив на w3 получим уравнение шестой степени от w, которое, на самом деле, является квадратным уравнением от w3:

w^6 + qw^3 - \frac{p^3}{27} = 0

Решая это уравнение, получим w3. Если w1, w2 и w3 являются тремя кубическими корнями w3, то корни исходного уравнения можно получить по формулам

t_1 = w_1 - \frac{p}{3w_1}, \quad t_2 = w_2 - \frac{p}{3w_2}\quad и  \quad t_3 = w_3 - \frac{p}{3w_3}.


Решение Омара Хайяма[править | править вики-текст]

Геометрическое решение Омара Хайяма кубического уравнения для случая a=2, b=16, дающее корень 2. То, что вертикальная прямая пересекает ось x в центре круга специфично для данного конкретного примера

Как показано на графике, для решения уравнения третьей степени x^3 + a^2x = b, где b>0, Омар Хайям построил параболу y=x^2/a, окружность, имеющую в качестве диаметра отрезок [0, b/a^2] положительной полуоси x, и вертикальную прямую, проходящую через пересечение параболы и окружности. Решение определяется длиной горизонтального отрезка от начала координат до пересечения вертикальной прямой с осью x.

Простое современное доказательство построения: умножаем на x уравнение и группируем члены

\frac{x^4}{a^2}= x\,(\frac{b}{a^2}-x)\,.

Левая часть — это значение y2 на параболе. Уравнение окружности — y^2+x\,(x-\frac{b}{a^2})=0, совпадает с правой частью уравнения и даёт значение y2 на окружности.


См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Британский музей BM 85200
  2. 1 2 John Crossley, Anthony W.-C. Lun. The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary. — Oxford University Press, 1999. — С. 176. — ISBN 978-0-19-853936-0.
  3. 1 2 Van der Waerden. Geometry and Algebra of Ancient Civilizations. — Zurich, 1983. — С. chapter 4.
  4. Roger Cooke. The History of Mathematics. — John Wiley & Sons, 2012. — С. 63. — ISBN 978-1-118-46029-0.
  5. Karen Rhea Nemet-Nejat. Daily Life in Ancient Mesopotamia. — Greenwood Publishing Group, 1998. — С. 306. — ISBN 978-0-313-29497-6.
  6. Roger Cooke. Classical Algebra: Its Nature, Origins, and Uses. — John Wiley & Sons, 2008. — С. 64. — ISBN 978-0-470-27797-3.
  7. Guilbeau 1930 утверждает, что "египтяне полагали, что решение невозможно, но греки подошли к решению ближе."
  8. 1 2 Guilbeau 1930
  9. Thomas L. Heath. Diophantus of Alexandria: A Study in the History of Greek Algebra. — Martino Pub, 2009. — ISBN 978-1578987542.
  10. Archimedes (translation by T. L. Heath). The works of Archimedes. — Rough Draft Printing, 2007. — ISBN 978-1603860512.
  11. Yoshio Mikami The Development of Mathematics in China and Japan. — New York: 2nd, 1974. — С. 53–56. — ISBN 978-0-8284-0149-4.
  12. Работа Омара Хайама, Scripta Math. 26 (1963), стр. 323–337
  13. в книге О'Коннора и Робертсона "Omar Khayyam", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, можно прочитать Эта задача привела Хайама к кубическому уравнению x3 + 200x = 20x2 + 2000 и он нашёл положительный корень этого уравнения как пересечение равнобочной гиперболы и окружности. Приближённое численное решение было затем найдено путём интерполяции тригонометрических таблиц.
  14. J. J. O'Connor и E. F. Robertson (1999), Omar Khayyam, в архиве истории математики MacTutor[en], утверждают, "Хайям, похоже, был первым, кто задумался об общей теории кубических уравнений."
  15. Guilbeau 1930 утверждает, "Омар Аль Хей Хорасан около 1079 AD сделал много по пути продвижения методов решения алгебраических уравнений с помощью пересекающихся конических сечений."
  16. Datta, Singh. History of Hindu Mathematics. — Delhi, India, 2004. — С. 76,. стр. 76, Equation of Higher Degree; Bharattya Kala Prakashan
  17. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Sharaf al-Din al-Muzaffar al-Tusi", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.
  18. J. L. Berggren Innovation and Tradition in Sharaf al-Din al-Tusi's Muadalat // Journal of the American Oriental Society. — 1990. — В. 2. — Т. 110. — С. 304–309. — DOI:10.2307/604533
  19. R. N. Knott and the Plus Team The life and numbers of Fibonacci // Plus Magazine. — 2013.
  20. Victor Katz. A History of Mathematics. — Boston: Addison Wesley, 2004. — С. 220. — ISBN 9780321016188.
  21. R. W. D. Nickalls Viète, Descartes and the cubic equation // Mathematical Gazette. — July 2006. — Т. 90. — С. 203–208.
  22. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 139.

Литература[править | править вики-текст]

  • Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 138—139.

Ссылки[править | править вики-текст]