Курносый куб
Курносый куб | |||
---|---|---|---|
| |||
| |||
Тип | архимедово тело | ||
Свойства | выпуклый, изогональный, хиральный | ||
Комбинаторика | |||
Элементы |
|
||
Грани |
32 треугольника, 6 квадратов |
||
Конфигурация вершины | 34.4 | ||
Двойственный многогранник | пентагональный икоситетраэдр | ||
Классификация | |||
Обозначения | sC | ||
Символ Шлефли | sr{4,3} | ||
Группа симметрии | O (хиральная октаэдрическая) | ||
Медиафайлы на Викискладе |
Курно́сый куб[1], или плосконо́сый куб[2][3], — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 38 гранями, составленный из 6 квадратов и 32 правильных треугольников. В каждой из его 24 одинаковых вершин сходятся одна квадратная грань и четыре треугольных. Треугольные грани делятся на две группы: 8 из них окружены только другими треугольными, остальные 24 — квадратной и двумя треугольными.
Имеет 60 рёбер равной длины.
Название «курносый куб» (лат. cubus simus) дал этому многограннику Иоганн Кеплер в трактате 1619 года «Гармония мира». Гарольд Коксетер, отметив, что многогранник родствен октаэдру в той же мере, что и кубу, предлагал называть его «курносым кубооктаэдром».
В отличие от большинства других архимедовых тел, курносый куб (наряду с курносым додекаэдром) является хиральным и существует в двух разных зеркально-симметричных (энантиоморфных) вариантах — «правом» и «левом».
Метрические характеристики и углы
[править | править код]При определении метрических свойств курносого куба приходится решать кубические уравнения и пользоваться кубическими корнями — тогда как для ахиральных архимедовых тел и для платоновых тел не требуется ничего сложнее квадратных уравнений и квадратных корней. Поэтому курносый куб, в отличие от платоновых и ахиральных архимедовых тел, не допускает евклидова построения[4]. То же верно и для курносого додекаэдра, а также для двойственных им каталановых тел.
При описании метрических свойств и углов курносого куба важную роль играет константа трибоначчи:
- .
Если курносый куб имеет ребро длины , его площадь поверхности и объём выражаются как
Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен
радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —
Вписать в курносый куб сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри курносого куба с ребром (она будет касаться только всех квадратных граней в их центрах), равен
Расстояние от центра многогранника до любой треугольной грани превосходит и равно
Двугранные углы между двумя смежными треугольными гранями курносого куба равны между смежными квадратной и треугольной гранями
Телесный угол при вершине равен
В координатах
[править | править код]«Левый» курносый куб можно разместить в декартовой системе координат так, чтобы координаты 12 его вершин были всевозможными чётными перестановками тех троек чисел среди которых чётное число отрицательных, а координаты остальных 12 вершин — всевозможными нечётными перестановками тех троек, среди которых нечётное число отрицательных.
Если поступить наоборот — взять чётные перестановки троек с нечётным числом минусов и нечётные перестановки троек с чётным числом минусов — получим «правый» вариант курносого куба.
Начало координат в обоих случаях будет центром описанной и полувписанной сфер многогранника.
Примечания
[править | править код]- ↑ Веннинджер, 1974, с. 20, 41.
- ↑ Энциклопедия элементарной математики, 1963, с. 437, 435.
- ↑ Люстерник, 1956, с. 183.
- ↑ У. Болл, Г. Коксетер. Математические эссе и развлечения. — М.: Мир, 1986. — Стр. 153.
Ссылки
[править | править код]- Weisstein, Eric W. Курносый куб (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Литература
[править | править код]- М. Веннинджер. Модели многогранников. — Мир, 1974.
- Многоугольники и многогранники // Энциклопедия элементарной математики. Книга четвёртая. Геометрия / Под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича, А. Я. Хинчина. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — С. 382—447.
- Л. А. Люстерник. Выпуклые фигуры и многогранники. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.