Курносый куб

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Курносый куб
Snubhexahedroncw.jpg
«Левый» вариант
(вращающаяся модель, 3D-модель)
Snubhexahedronccw.jpg
«Правый» вариант
(вращающаяся модель, 3D-модель)
Тип архимедово тело
Свойства выпуклый, изогональный, хиральный
Комбинаторика
Элементы
38 граней
60 рёбер
24 вершины
Грани 32 треугольника,
6 квадратов
Конфигурация вершины 34.4
Развёртка
Snub cube flat.png
Развёртка для «левого» варианта
Двойственный многогранник пентагональный икоситетраэдр
Классификация
Обозначения sC
Группа симметрии O (хиральная октаэдрическая)
Commons-logo.svg Курносый куб на Викискладе

Курно́сый куб[1], или плосконо́сый куб[2][3], — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 38 гранями, составленный из 6 квадратов и 32 правильных треугольников. В каждой из его 24 одинаковых вершин сходятся одна квадратная грань и четыре треугольных. Треугольные грани делятся на две группы: 8 из них окружены только другими треугольными, остальные 24 — квадратной и двумя треугольными.

Имеет 60 рёбер равной длины.

Название «курносый куб» (лат. cubus simus) дал этому многограннику Иоганн Кеплер в трактате 1619 года «Гармония мира». Гарольд Коксетер, отметив, что многогранник родствен октаэдру в той же мере, что и кубу, предлагал называть его «курносым кубооктаэдром».

В отличие от большинства других архимедовых тел, курносый куб (наряду с курносым додекаэдром) является хиральным и существует в двух разных зеркально-симметричных (энантиоморфных) вариантах — «левом» и «правом».

Преобразование ромбокубооктаэдра в «левый» и «правый» курносые кубы.

Метрические характеристики и углы[править | править код]

При определении метрических свойств курносого куба приходится решать кубические уравнения и пользоваться кубическими корнями — тогда как для ахиральных архимедовых тел и для платоновых тел не требуется ничего сложнее квадратных уравнений и квадратных корней. Поэтому курносый куб, в отличие от платоновых и ахиральных архимедовых тел, не допускает евклидова построения[4]. То же верно и для курносого додекаэдра, а также для двойственных им каталановых тел.

При описании метрических свойств и углов курносого куба важную роль играет константа трибоначчи:

.

Если курносый куб имеет ребро длины , его площадь поверхности и объём выражаются как

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

Вписать в курносый куб сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри курносого куба с ребром (она будет касаться только всех квадратных граней в их центрах), равен

Расстояние от центра многогранника до центра любой треугольной грани превосходит и равно

Двугранные углы между двумя смежными треугольными гранями курносого куба равны между смежными квадратной и треугольной гранями

Телесный угол при вершине равен

В координатах[править | править код]

«Левый» курносый куб можно разместить в декартовой системе координат так, чтобы координаты 12 его вершин были всевозможными чётными перестановками тех троек чисел среди которых чётное число отрицательных, а координаты остальных 12 вершин — всевозможными нечётными перестановками тех троек, среди которых нечётное число отрицательных.

Если поступить наоборот — взять чётные перестановки троек с нечётным числом минусов и нечётные перестановки троек с чётным числом минусов — получим «правый» вариант курносого куба.

Начало координат в обоих случаях будет центром описанной и полувписанной сфер многогранника.

Примечания[править | править код]

  1. Веннинджер, 1974, с. 20, 41.
  2. Энциклопедия элементарной математики, 1963, с. 437, 435.
  3. Люстерник, 1956, с. 183.
  4. У. Болл, Г. Коксетер. Математические эссе и развлечения. — М.: Мир, 1986. — Стр. 153.

Ссылки[править | править код]

Литература[править | править код]