Курносый куб

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Курносый куб
Курносый куб (левый)
«Левый» вариант
(здесь можно посмотреть вращающуюся модель)

Курносый куб (правый)
«Правый» вариант
(здесь можно посмотреть вращающуюся модель)
Тип Полуправильный многогранник
(архимедово тело)
Грани треугольники (32),
квадраты (6)
Граней 38
Рёбер 60
Вершин 24
Граней при вершине 5
Группа симметрии Октаэдрическая (O)
Двойственный
многогранник
Пентагональный икоситетраэдр
Развёртка Snub cube flat.png
(для «левого» варианта)

Курносый куб[1] или плосконосый куб[2][3]полуправильный многогранник (архимедово тело) с 38 гранями, составленный из 6 квадратов и 32 правильных треугольников. В каждой из его 24 одинаковых вершин сходятся одна квадратная грань и четыре треугольных. Треугольные грани делятся на две группы: 8 из них окружены только другими треугольными, остальные 24 — квадратной и двумя треугольными.

Имеет 60 рёбер равной длины.

Название «курносый куб» (лат. cubus simus) дал этому многограннику Иоганн Кеплер в трактате 1619 года «Гармония мира». Гарольд Коксетер, отметив, что многогранник родствен октаэдру в той же мере, что и кубу, предлагал называть его «курносым кубооктаэдром».

В отличие от большинства других архимедовых тел, курносый куб (наряду с курносым додекаэдром) является хиральным и существует в двух разных зеркально-симметричных (энантиоморфных) вариантах — «левом» и «правом».

Преобразование ромбокубооктаэдра в «левый» и «правый» курносые кубы.

Метрические характеристики и углы[править | править вики-текст]

При определении метрических свойств курносого куба приходится решать кубические уравнения и пользоваться кубическими корнями — тогда как для ахиральных архимедовых тел и для платоновых тел не требуется ничего сложнее квадратных уравнений и квадратных корней. Поэтому курносый куб, в отличие от платоновых и большинства архимедовых тел, не допускает евклидова построения[4]. То же верно и для курносого додекаэдра, а также для двойственных им каталановых тел.

При описании метрических свойств и углов курносого куба важную роль играет константа трибоначчи:

.

Если усечённый куб имеет ребро длины , его площадь поверхности и объём выражаются как

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

Вписать в курносый куб сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри курносого куба с ребром (она будет касаться только всех квадратных граней в их центрах), равен

Расстояние от центра многогранника до центра любой треугольной грани превосходит и равно

Двугранные углы между двумя смежными треугольными гранями курносого куба равны между смежными квадратной и треугольной гранями

Телесный угол при вершине равен

В координатах[править | править вики-текст]

«Левый» курносый куб можно разместить в декартовой системе координат так, чтобы координаты 12 его вершин были всевозможными чётными перестановками тех троек чисел среди которых чётное число отрицательных, а координаты остальных 12 вершин — всевозможными нечётными перестановками тех троек, среди которых нечётное число отрицательных.

Если поступить наоборот — взять чётные перестановки троек с нечётным числом минусов и нечётные перестановки троек с чётным числом минусов — получим «правый» вариант курносого куба.

Начало координат в обоих случаях будет центром описанной и полувписанной сфер многогранника.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Веннинджер, 1974, с. 20, 41.
  2. Энциклопедия элементарной математики, 1963, с. 437, 435.
  3. Люстерник, 1956, с. 183.
  4. У. Болл, Г. Коксетер. Математические эссе и развлечения. — М.: Мир, 1986. — Стр. 153.

Ссылки[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]