Кусочно-заданная функция

Кусочно-заданная функция — функция, определённая на множестве вещественных чисел, заданная на каждом из интервалов, составляющих область определения, отдельной формулой.

Формальное определение и задание

Пусть заданы $x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}$ — точки смены формул.

Как и все кусочно-заданные функции, кусочно-линейную функцию обычно задают на каждом из интервалов $(-\infty ;x_{1}),(x_{1};x_{2});\ldots (x_{n};+\infty )$ отдельно. Записывают это в виде: $f(x)={\begin{cases}f_{0}(x),\quad x<x_{1}\\f_{1}(x),\quad x_{1}<x<x_{2}\\\cdots \\f_{n}(x),\quad x_{n}<x\end{cases}}$

Виды кусочно-заданных функций

Сюда перенаправляется запрос «кусочно-постоянная функция». На эту тему нужна отдельная статья.

• Если все функции — постоянные, то $f(x)$ — кусочно-постоянная функция.
• Если все функции $f_{i}(x)$ являются линейными функциями, то $f(x)$ — кусочно-линейная функция.
• Если все функции $f_{i}(x)$ являются непрерывными функциями, то $f(x)$ — кусочно-непрерывная функция. При этом сама она может не являться непрерывной.
• Если все функции $f_{i}(x)$ являются дифференцируемыми функциями, то $f(x)$ — кусочно-гладкая функция. При этом точки смены формул могут быть (а могут и не быть) точками излома.
• Если все функции $f_{i}(x)$ являются монотонными функциями, то $f(x)$ — кусочно-монотонная функция. При этом на соседних интервалах монотонность может быть разной.