Кусочно-заданная функция

График функции модуля вещественной переменной — пример кусочно-заданной (кусочно-линейной) функции

Кусо́чно-за́данная фу́нкция — функция одной переменной, определённая на множестве вещественных чисел, заданная на каждом из интервалов, составляющих область определения, отдельной формулой или другим способом задания функции.

Формальное определение и задание

Пусть заданы $x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}$ — точки смены задания функции.

Кусочно-заданные функции обычно задают на каждом из интервалов $(-\infty ;x_{1}),(x_{1};x_{2});\ldots (x_{n};+\infty )$ отдельно. Формально записывают это в виде:

$f(x)={\begin{cases}f_{0}(x),\quad x<x_{1}\\f_{1}(x),\quad x_{1}<x<x_{2}\\\cdots \\f_{n}(x),\quad x_{n}<x\end{cases}}$.

На некоторых из интервалов в общем случае кусочно-заданная функция может быть не определена.

Виды кусочно-заданных функций

Запрос «кусочно-постоянная функция»^[d] перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

• Если все функции — постоянные, то $f(x)$ — кусочно-постоянная функция.
• Если все функции $f_{i}(x)$ являются линейными функциями, то $f(x)$ — кусочно-линейная функция.
• Если все функции $f_{i}(x)$ являются непрерывными функциями, то $f(x)$ — кусочно-непрерывная функция. При этом сама она может не являться непрерывной.
• Если все функции $f_{i}(x)$ являются дифференцируемыми функциями, то $f(x)$ — кусочно-гладкая функция. При этом точки смены функций могут быть, а могут и не быть точками излома.
• Если все функции $f_{i}(x)$ являются монотонными функциями, то $f(x)$ — кусочно-монотонная функция. При этом на соседних интервалах знак первой производной может быть разной, то есть нарастающие или падающие функции.

Примеры часто используемых кусочно-заданных функций

• Абсолютная величина (модуль) $y=|x|$.
• Функция знака $y=\operatorname {sgn}(x)$.
• Функция Хевисайда $\theta (x)={\begin{cases}0,&x<0;\\1,&x\geqslant 0.\end{cases}}$
• Кусочно-линейная функция.
• Сплайн.
• B-сплайн.