Ламанов граф

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Веретено Мозера, планарный Ламанов граф
Полный двудольный граф K3,3, непланарный Ламанов граф

Лама́нов граф — граф из семейства разреженных графов, описывающий минимальные жёсткие системы[en] отрезков и шарниров на плоскости. Формально — ламанов граф с n вершинами — это такой граф G, что, во-первых, для каждого k любой подграф графа n, содержащий k вершин, имеет не более, чем 2k-3 ребра и, во-вторых, сам граф G имеет ровно 2n-3 ребра.

Названы в честь профессора Амстердамского университета Герарда Ламана, который использовал их в 1970 году для описания плоских жёстких структур[1].

Жёсткость[править | править вики-текст]

Ламановы графы возникают в теории жёсткости[en] следующим образом: если разместить вершины Ламанова графа на евклидовой плоскости так, чтобы они находились в общем положении и двигать вершины так, чтобы длины всех рёбер оставались неизменными, то это движение с необходимостью будет евклидовой изометрией. Более того, любой минимальный граф, обладающий таким свойством, с необходимостью является Ламановым. С интуитивной точки зрения понятно, что каждое ребро графа уменьшает степень свободы соответствующей ему шарнирно-стержневой системы на единицу. Поэтому 2n −3 рёбер в Ламановом графе уменьшают 2n степеней свободы системы из n вершин до трёх, что соответствует изометрическому преобразованию плоскости. Граф является жёстким в этом смысле тогда и только тогда, когда он содержит Ламанов подграф, содержащий все вершины графа. Таким образом, Ламановы графы являются минимальными жёсткими графами и формируют базис двухмерных матроидов жёсткости[en].

Если заданы n точек плоскости, существует 2n степени свободы в их расположении (каждая точка имеет две независимые координаты), но жёсткий граф имеет только три степени свободы (расположение одной точки и поворот вокруг этой точки). Интуитивно ясно, что добавление ребра фиксированной длины в граф сокращает степень свободы на единицу так, что 2n − 3 рёбер Ламанова графа уменьшает 2n степеней свободы начального расположения до трёх степеней свободы жёсткого графа. Однако не всякий граф с 2n − 3 рёбрами является жёстким. Условие в определении Ламанова графа, что никакой подграф не содержит слишком много рёбер, гарантирует, что каждое ребро реально вносит свой вклад в общее уменьшение степени свободы, а не является частью подграфа, который уже является жёстким благодаря другим своим рёбрам.

Планарность[править | править вики-текст]

Ламановы графы связаны также с понятием псевдотриангуляции[en]. Известно, что каждая псевдотриангуляция является Ламановым графом и наоборот, каждый плоский Ламанов граф может быть реализован как псевдотриангуляция[2]. Однако следует иметь в виду, что имеются непланарные Ламановы графы, например, полный двудольный граф K_{3,3}.

Разреженность[править | править вики-текст]

Штрейну и Теран[3] определяют граф как (k,l)-разреженный, если любой непустой подграф с n вершинами имеет максимум kn-l рёбер, и (k,l)-плотный, если он (k,l)-разреженный и имеет в точности kn-l рёбер. Таким образом, в этой нотации, Ламановы графы — это в точности (2,3)-плотные графы, и подграфы Ламановых графов — это в точности (2,3)-разреженные графы. Ту же самую нотацию можно использовать для описания других важных семейств разреженных графов, включая деревья, псевдолеса[en] и графы с ограниченной древесностью[en][4].

Построение Хенненберга[править | править вики-текст]

Построение Хенненберга веретена Мозера

Задолго до работы Ламана, Лебрехт Хеннеберг (Lebrecht Henneberg) описал двухмерные минимальные жёсткие графы (то есть, графы Ламана) различными способами[5]. Хенненберг показал, что минимальные жёсткие графы с двумя и более вершинами — это в точности графы, которые можно получить, начав с единичного ребра, используя операции двух видов:

  1. Добавляется новая вершина вместе с рёбрами, соединяющими её с двумя уже существующими вершинами.
  2. Ребро разбивается и добавляется новое ребро, соединяющее вновь появившуюся вершину с существующей.

Последовательность таких операций, которая формирует заданный граф, называется построением Хенненберга. Например, полный двудольный граф K_{3,3} может быть построен сначала применением трижды первой операции для построения треугольников, а затем применением двух операций типа два для разбиения двух сторон треугольника.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. G. Laman On graphs and the rigidity of plane skeletal structures // J. Engineering Mathematics. — 1970. — Т. 4. — С. 331—340. — DOI:10.1007/BF01534980.
  2. Ruth Haas, David Orden, Günter Rote, Francisco Santos, Brigitte Servatius, Herman Servatius, Diane Souvaine, Ileana Streinu, Walter Whiteley Planar minimally rigid graphs and pseudo-triangulations // Computational Geometry Theory and Applications. — 2005. — Т. 31, вып. 1—2. — С. 31—61. — DOI:10.1016/j.comgeo.2004.07.003.
  3. Streinu, Theran, 2008
  4. I. Streinu, L. Theran Sparse hypergraphs and pebble game algorithms // European Journal of Combinatorics. — 2009. — Т. 30, вып. 8. — С. 1944—1964. — DOI:10.1016/j.ejc.2008.12.018. — arΧivmath/0703921.
  5. L. Henneberg. Die graphische Statik der starren Systeme. — Leipzig, 1911.