Лемма Бореля — Кантелли

Ле́мма Боре́ля — Канте́лли в теории вероятностей — это результат, касающийся бесконечной последовательности событий. Лемма часто используется для доказательства предельных теорем. Обычно лемма разбивается на два утверждения, называемыми первой и второй леммами Бореля — Кантелли.

Первая лемма

Пусть дано вероятностное пространство $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ и последовательность событий $\{A_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset {\mathcal {F}}$. Обозначим

$A=\limsup \limits _{n\to \infty }A_{n}\equiv \bigcap \limits _{n=1}^{\infty }\left(\bigcup \limits _{m=n}^{\infty }A_{m}\right)$,

где $A$ — событие, состоящее в том, что произойдёт бесконечно много событий из $A_{1},A_{2},...,A_{n}$.

Тогда, если $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(A_{n}\right)<\infty$, то $\mathbb {P} (A)=0$.

Вторая лемма

Если все события $\{A_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ совместно независимы, и $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(A_{n}\right)=\infty$, то $\mathbb {P} (A)=1$.

См. также

• Закон нуля или единицы
• Теорема о бесконечных обезьянах
• Борель, Эмиль
• Кантелли, Франческо Паоло
• Конвергенция Куратовского

Литература

• Ширяев А. Н. Вероятность. — М:.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. — С. 271. — 640 с. — ISBN 5-02-013995-6.