Лемма Гаусса о приводимости многочленов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Лемма Гаусса — утверждение про свойства многочленов над факториальными кольцами, которое впервые было доказано для многочленов над кольцом целых чисел. Широко применяется в теории колец и полей, в частности, при доказательстве факториальности кольца многочленов над факториальным кольцом и теоремы Люрота.

Формулировка[править | править код]

Пусть факториальное кольцо (например, кольцо целых чисел). Тогда справедливы следующие два утверждения:

  • Пусть неприводимо (а значит и просто) в и делит все коэффициенты произведения Тогда также делит все коэффициенты или многочлена или многочлена В частности, если примитивные многочлены (многочлен называется примитивным, если наибольший общий делитель его коэффициентов обратим, т.е. ассоциирован с единицей), то и многочлен примитивен;
  • Если поле частных кольца и если многочлен неприводим в кольце то он неприводим и в кольце Более того, если многочлен примитивен в то верно и обратное.

Оба этих утверждения остаются верными, если вместо факториальных колец рассматривать области целостности, в которых любые два элемента имеют наибольший общий делитель.

Доказательство (для факториальных колец)[править | править код]

Докажем, что если простой элемент кольца является общим делителем коэффициентов , то он делит либо все коэффициенты либо все коэффициенты .

Пусть , , — степени этих многочленов.

Допустим, что не делит в совокупности ни коэффициенты ни Тогда существуют наименьшие для которых і

Коэффициент при элементе степени многочлена имеет вид:

В соответствии с выбором элемент делит все слагаемые в этой сумме, за исключением который он не делит в силу своей простоты и факториальности Стало быть, он не делит и всю сумму, которая является одним из коэффициентов многочлена, и мы приходим к противоречию. Непосредственным следствием этого пункта является то, что если примитивны, то их произведение — тоже примитивный многочлен.

Пусть теперь — факторизация в кольце Домножив каждый из на общее кратное знаменателей их коэффициентов, получим, что і і

Каждый из простых делителей делит все коэффициенты а значит и все коэффициенты одного из многочленов-сомножителей. Разделив на этот делитель и повторив процесс конечное число раз, получим факторизацию в кольце

См. также[править | править код]

Литература[править | править код]

  • Garling, D.J.H. (1986), A Course in Galois Theory, Cambridge University Press, ISBN 0-521-31249-3