Лемма Ферма

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ле́мма Ферма́ утверждает, что производная дифференцируемой функции в точке локального экстремума равна нулю.

Предыстория[править | править вики-текст]

У Ньютона этот факт упоминался как т.н. принцип остановки[1]:

« Когда величина есть наибольшая или наименьшая из всех возможных, то она в этот момент не течёт ни вперёд, ни назад.
»

Выдвинут Николаем Орезмским в его учении о широтах и долготах[2].

Формулировка[править | править вики-текст]

Пусть функция имеет во внутренней точке области определения локальный экстремум. Пусть также существуют односторонние производные конечные или бесконечные. Тогда

В частности, если функция имеет в производную, то

Доказательство[править | править вики-текст]

Предположим, что . Тогда .

Поэтому:

Если производная определена, то получаем

,

то есть .

Замечание[править | править вики-текст]

Производная дифференцируемой функции в точке локального экстремума равна нулю. Её касательная в этой точке параллельна оси абсцисс. Обратное, вообще говоря, неверно, то есть из равенства нулю производной в некоторой точке не следует наличие локального экстремума в этой точке.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Пусть . Тогда — точка локального минимума, и
, . (Однако она является не дифференцируемой)
  • Пусть . Тогда — точка локального минимума, и
.
  • Пусть . Тогда
,
но точка не является точкой локального экстремума.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Фихтенгольц Г. М. Глава XIV. Исторический очерк возникновения основных идей математического анализа // Основы математического анализа. — 4-е изд. — СПб.: «Лань», 2002. — Т. 1. — С. 423. — 448 с. — (Учебники для вузов. Специальная литература). — 5000 экз. — ISBN 5-9511-0010-0.
  2. Исаак Ньютон. Примечания переводчика // Исаак Ньютон. Математические работы = Isaaci Newtoni, Opuscula mathematica, philosophica et philologica, t. I, Lausannae et Geuevae 1744 / Перевод с латинского, вводная статья и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского.. — М.—Л.: ОНТИ, 1937. — С. 318. — 452 с. — (Классики естествознания).