Лемма Шура

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ле́мма Шу́ра — утверждение, являющееся одним из основных при построении теории представлений групп.

Формулировка леммы[править | править вики-текст]

Представление группы автоморфизмами некоторого векторного пространства называется неприводимым, если не существует никакого инвариантного относительно подпространства отличного от 0 и самого .

Лемма Шура: Пусть — линейное отображение векторных пространств , над некоторым полем такое, что существуют два неприводимых представления и , такие, что для всех . Тогда:

1)Если не является изоморфизмом, то — нулевое отображение.

2)Если конечномерны над алгебраически замкнутым полем и , то является умножением на некоторый элемент поля .

Доказательство[править | править вики-текст]

Основой доказательства служит следующее общее утверждение, которое часто тоже называют «леммой Шура»:

Пусть и модули, являющиеся простыми (то есть не имеющие подмодулей, отличных от нулевого и самого себя). Тогда любой гомоморфизм является либо нулевым, либо изоморфизмом на .

В самом деле, так как и являются подмодулями, то если ненулевой гомоморфизм, имеем , а , то есть — изоморфизм на весь модуль .

Теперь определим групповое кольцо . Элементами этого кольца будут линейные комбинации . Умножение определяется и далее по линейности. Ясно, что кольцо. На пространстве определим умножение элемента из на элемент : . Тем самым мы превращаем в модуль над кольцом . Проверка аксиом модуля тривиальна, т.к. является представлением. аналогично, заменяя на , будет модулем над , а равенство то, что отображение является гомоморфизмом модулей. Так как и неприводимы, а это означает простоту и как модулей над , то первая часть леммы доказана.

Для доказательства второй части используем известное утверждение линейной алгебры о существовании собственного вектора для конечномерного пространства над алгебраически замкнутым полем, соответствующего собственному значениию , . Для любого элемента имеем , причём для собственного вектора следовательно по первой части леммы является нулевым гомоморфизмом, а значит, является умножением на некоторое .

Литература[править | править вики-текст]

  • Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры. — 3-е изд.. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
  • Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1967.
  • Серр Ж.-П. Линейные представления конечных групп. — М.: Мир, 1969.