Лемма о рукопожатиях

Чётное число вершин (четыре: 2, 4, 5 и 6) данного графа имеют нечётную степень. Сумма степеней всех вершин равна 14, то есть удвоенному числу рёбер графа.

Лемма о рукопожатиях — положение теории графов, согласно которому любой конечный неориентированный граф имеет чётное число вершин нечётных степеней. Название происходит от известной математической задачи: необходимо доказать, что в любой группе число людей, пожавших руку нечётному числу других людей, чётно.

Лемма является следствием формулы суммы степеней, также иногда называемой леммой о рукопожатиях:

$\sum _{v\in V}\deg(v)=2|E|$

для графа с множеством вершин $V$ и множеством рёбер $E$. Оба результата доказаны Эйлером в докладе о семи мостах Кёнигсберга (1736), положившем начало исследованиям в области теории графов.

Вершины нечётных степеней графа иногда называются нечётными вершинами или нечётными узлами; используя эту терминологию, можно перефразировать лемму таким образом: каждый граф имеет чётное число нечётных вершин.

Формула суммы степеней подразумевает, что $k$-регулярный граф с числом вершин $n$ имеет $kn/2$ рёбер; в частности, если $k$ нечётно, число рёбер должно делиться на $k$.

Лемма неприменима к бесконечным графам, даже если они имеют конечное число нечётных вершин. Например, бесконечный путь с одной концевой вершиной имеет единственную нечётную вершину (то есть, нечётное количество).

Лемма использована в одном из доказательств леммы Шпернера, а также «задачи о восхождении на гору».

Доказательство

При формулы степеней Эйлер использовал технику двойного (повторного) счёта: посчитал количество инцидентных пар $(v,e)$, где $e$ — ребро и $v$ — одна из его концевых вершин двумя разными способами. При добавлении ребра сумма степеней вершин графа увеличивается на 2, то есть вершина $v$ принадлежит $\deg(v)$ парам, где $\deg(v)$ — степень вершины (количество инцидентных ей рёбер). Следовательно, число инцидентных пар совпадает с суммой всех степеней. Однако каждое ребро принадлежит двум инцидентным парам, так как имеет две концевые вершины. Поэтому число инцидентных пар равно $2|E|$. Поскольку две данные формулы предназначены для одного и то же множества, их значения одинаковы.

Чётность или нечётность суммы целых чисел не зависит от количества чётных слагаемых. Сумма чётна, если число нечётных слагаемых чётно (и нечётна в противном случае). Так как одна часть уравнения всегда чётна $(2|E|)$, другая часть должна содержать чётное число нечётных слагаемых, то есть вершин нечётной степени.

Литература

• Кэмерон, Кэти & Эдмондс, Джек (1999), Some graphic uses of an even number of odd nodes, Annales de l'Institut Fourier Т. 49 (3): 815–827, <http://www.numdam.org/item?id=AIF_1999__49_3_815_0> .
• Эйлер, Л. (1736), Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis, Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae Т. 8: 128–140, <http://math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E053.pdf> . Печать и перевод: Биггз, Н. Л.; Лойд, И. K. & Уилсон, Р. Дж. (1976), Graph Theory 1736–1936, Oxford University Press .
• Пападимитриу, Христос Х. (1994), On the complexity of the parity argument and other inefficient proofs of existence, Journal of Computer and System Sciences Т. 48 (3): 498–532, DOI 10.1016/S0022-0000(05)80063-7 .
• Томасон, A. Дж. (1978), Hamiltonian cycles and uniquely edge colourable graphs, Advances in Graph Theory (Cambridge Combinatorial Conf., Trinity College, Cambridge, 1977), vol. 3, Annals of Discrete Mathematics, с. 259–268, DOI 10.1016/S0167-5060(08)70511-9 .