Лемниската Жероно

Лемниската Жероно

Лемниска́та Жероно́, или лемниската Гюйгенса — плоская кривая, удовлетворяющая уравнению $\textstyle x^{4}=a^{2}(x^{2}-y^{2})$.

Получила свое название в честь французского математика Камиля-Кристофа Жероно, который описал её свойства в своем учебнике по геометрии, изданном в Париже в 1854 г.

Уравнение кривой в плоских координатах: $y=\pm {\sqrt {\frac {a^{2}x^{2}-x^{4}}{a^{2}}}}$.

Лемниската Жероно является уникурсальной кривой, поэтому может быть описана в параметрическом виде через рациональные функции:

$x=a{\frac {t^{2}-1}{t^{2}+1}},\ \ y=a{\frac {2t(t^{2}-1)}{(t^{2}+1)^{2}}}$.

Также параметрический вид через тригонометрические функции:

$x=a\cos(t),\ \ y=a\sin(t)\cos(t)=a\sin(2t)/2,$

или

$x=a\cos(\omega t),\ \ y=b\sin(\omega t)\cos(\omega t)=b\sin(2\omega t)/2$

и является одной из фигур Лиссажу с удвоенной частотой колебаний по оси $y$ относительно колебаний по оси $x$ и нулевым сдвигом фаз.

См. также

• Лемниската Бута
• Лемниската Бернулли
• Кривая Вивиани

Ссылки

• Словарь плоских кривых (англ.).
• Lemniscate de Gerono (фр.).

Литература

• Артоболевский И. И. Механизмы в современной технике. — Т. 2. — Изд. 7-е. — М.: Наука, 1979.