Лестничный оператор

Лестничный оператор — оператор, увеличивающий или уменьшающий собственное значение другого оператора — соответственно, повышающий оператор или понижающий оператор. Основное применение — в квантовой механике, где повышающий оператор называется оператором рождения, а понижающий — оператором уничтожения, используются для описания, в частности, квантового гармонического осциллятора и оператора углового момента.

Если два оператора $X$ и $N$ имеют коммутатор:

$[N,X]=cX$

для некоторого скаляра $c$, то оператор $X$ действует на другой оператор таким образом, что сдвигает собственное значение оператора $N$ на $c$:

$N\circ X|n\rangle$	${}=(XN+[N,X])|n\rangle$
	${}=(XN+cX)|n\rangle$
	${}=XN|n\rangle +cX|n\rangle$
	${}=Xn|n\rangle +cX|n\rangle$
	${}=(n+c)X|n\rangle$.

Другими словами, если $|n\rangle$ является собственным вектором оператора $N$ с собственным значением $n$, то $X|n\rangle$ — собственное состояние $N$ с собственным значением $n+c$. Повышающий оператор для $N$ — оператор $X$, для которого $c$ является вещественным положительным числом, а понижающий оператор — для которого число $c$ вещественное отрицательное.

Если $N$ — эрмитов оператор, то $c$ должно быть вещественным, при этом эрмитово сопряжённый оператор от $X$ подчиняется следующему коммутационному соотношению:

$[N,X^{\dagger }]=-cX^{\dagger }$.

Также верно, что если $X$ является понижающим оператором для $N$, то $X^{\dagger }$ — повышающий оператор $N$ (и обратное тоже верно).