Лизоркин, Пётр Иванович

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Пётр Иванович Лизоркин
Лизоркин Пётр Иванович.jpg
Дата рождения 3 апреля 1922(1922-04-03)
Место рождения Сасово, Тамбовская губерния, РСФСР
Дата смерти 20 сентября 1993(1993-09-20) (71 год)
Место смерти Москва, Россия
Страна СССР, Россия
Научная сфера математика
Место работы МИАН, МИФИ
Альма-матер
Учёная степень доктор физико-математических наук
Учёное звание профессор
Научный руководитель С. М. Никольский
Награды и премии Орден Красного Знамени Орден Отечественной войны I степени Орден Красной Звезды

Лизоркин, Пётр Иванович (3 апреля 192220 сентября 1993) — советский математик, профессор, создатель теории пространств Лизоркина — Трибеля[1][2]. Участник Великой Отечественной войны[3]

Биография[править | править код]

Уроженец села Сасово Елатомского уезда Тамбовской губернии, П. И. Лизоркин детство и юношеские годы прожил в Елатьме на Оке. После окончания средней школы он поступил на физико-математический факультет Воронежского Государственного Университета. Однако в 1940 году с первого курса Пётр Иванович был призван в армию и направлен в Харьковское Военно-авиационное училище. С началом Великой Отечественной войны училище эвакуируется в Красноярск.

Окончив училище в 1942 г. и пройдя дополнительную подготовку в Высшей школе штурманов и при лётном центре Авиации дальнего действия в г. Рыбинске[4], с 1943 г. П. И. Лизоркин служил на фронте в действующей армии. В качестве штурмана Авиации дальнего действия[5] он сделал 120 успешных боевых вылетов в тыл врага и был награждён тремя орденами[6].

В мае 1944 года самолёт, в экипаже которого состоял П. И. Лизоркин, был сбит в глубоком тылу врага. Целый год Пётр Иванович провёл в немецких лагерях для военнопленных, затем, будучи освобождённым из плена незадолго до конца войны, прошёл длительную госпроверку и лишь в декабре 1945 года был демобилизован из армии.

В феврале 1946 года П. И. Лизоркин поступил на инженерно-физический факультет Московского Механического института (впоследствии преобразованного в Московский инженерно-физический институт). П. И. Лизоркин окончил его с отличием в 1951 году по специальности «теоретическая физика» и был рекомендован в аспирантуру по этой специальности; однако работать в этой области не позволили, вспомнили плен, сказался закрытый профиль института[7].

В 1951—1957 годах П. И. Лизоркин работал преподавателем кафедры высшей математики МИФИ, а в 1958 году поступил в аспирантуру и с этого времени работал в области математики. В 1961 году П. И. Лизоркин защитил кандидатскую диссертацию. В том же году его пригласили на работу в отдел теории функций Математического института АН СССР, где в 1969 году П. И. Лизоркин защитил докторскую диссертацию[8].

Работая в Математическом институте СССР, П. И. Лизоркин не порывал с педагогической деятельностью. В течение ряда лет он заведовал кафедрой высшей математики МИФИ, был профессором этой кафедры[9]. В эти же годы в МИФИ началась фундаментальная перестройка преподаваемого курса высшей математики, введение в курсы элементов функционального анализа. Учебник П. И. Лизоркина «Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами математического анализа» отражает опыт МИФИ в этом направлении, сокращая «разрыв между подготовкой выпускника ВУЗа и требованиями, с которыми ему приходится встречаться на практике»[10].

П. И. Лизоркин был женат на Кузнецовой Валентине Алексеевне, преподавателе МИФИ[11], у них трое детей.

Научная деятельность[править | править код]

П. И. Лизоркиным получено окончательное решение задачи о естественном расширении пространств С. Л. Соболева на дробные индексы дифференцирования. Им было введено понятие обобщённой лиувиллевской производной и на его основе определены анизотропные классы бесселевых потенциалов[12] Дальнейшее развитие этих работ привело к построению шкал пространств, известных в литературе как пространства Лизоркина-Трибеля. Петром Ивановичем была развита теория Фурье-мультипликаторов[13], обобщающая и дополняющая результаты Ю. Марцинкевича и С. Г. Михлина[14].

Большой цикл совместных работ С. М. Никольского и П. И. Лизоркина по теории краевых задач для эллиптических операторов с сильным вырождением на всей границе области сильно продвинул этот раздел теории дифференциальных уравнений[6]. Они обнаружили, что корректная постановка задачи Дирихле для оператора порядка требует задания на границе области не условий, а меньшего их числа в зависимости от показателя вырождения оператора, разработали вариационные методы исследования первой краевой задачи, изучили свойства гладкости решений этой задачи в зависимости от гладкости коэффициентов и правой части уравнения.

В последние годы жизни П. И. Лизоркин занимался теорией приближений на однородных многообразиях[6].

Пространства Лизоркина-Трибеля[править | править код]

Пространства, получившие в научной среде название пространств Лизоркина-Трибеля, были введены П. И. Лизоркиным и затем более детально исследованы немецким математиком Хансом Трибелем[15].

Обозначим - пространство Шварца комплекснозначных быстроубывающих бесконечно дифференцируемых функций на . Рассматривается совокупность всех систем функций , таких что[16]:

  1. Носители функций из системы являются подмножествами следующих множеств: , , ;
  2. Для каждого мультииндекса существует положительное число , при котором для всех и всех , где ;
  3. для каждого .

Пространства Лизоркина–Трибеля определяются для следующим образом: .

Здесь для краткости обозначает оператор дифференцирования, берущий для всех частную -ю производную по ; - оператор преобразования Фурье; а символом обозначается множество всех умеренных распределений на [17].

Принадлежность функции пространству Лизоркина-Трибеля означает представимость её в виде суммы атомарных функций, т.е. функций заданной гладкости с некоторым числом нулевых моментов, чьи преобразования Фурье также имеют фиксированную гладкость.

Теоремы, сформулированные П. И. Лизоркиным и Х. Трибелем, гарантировали существование разложения функции через атомарные функции, хотя и без описания способа его получения[18].

Области применения[править | править код]

Появление базисов , по которым можно производить разложения функций, привело к существенному прогрессу в теории функциональных пространств. Базисы нашли широкое распространение от чисто математических проблем описания функциональных пространств до сугубо прикладных проблем цифровой обработки сигналов и изображений. Базисы всплесков находят всё большие применения в физике, астрономии, геофизике, медицине и других областях знаний. Причина такой популярности состоит в том, что всплески являются идеальным инструментом для адекватного представления нестационарных сигналов как с точки зрения глубинных свойств, важных в теории, так и с точки зрения существования для них экономичных численных алгоритмов[18].

Примечания[править | править код]

  1. Н. Л. Кудрявцев, Дробные разности и пространства Лизоркина-Трибеля, Матем. заметки, 71:6 (2002), 845—854 https://dx.doi.org/10.4213/mzm389
  2. Г. А. Калябин, Описания функций из классов типа Бесова-Лизоркина-Трибеля, Исследования по теории дифференцируемых функций многих переменных и её приложениям. Часть 8, Сборник работ, Тр. МИАН СССР, 156, 1980, 82-109 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=622228
  3. Память народа
  4. Борис Шестаков. Рыбинск военный. http://boris-shestakov.ru/rybinsk-voennyj Архивировано 3 декабря 2013 года.
  5. Черешнев А. И. Люди мужества. — М.: Воениздат, 1971. http://militera.lib.ru/memo/russian/chereshnev_ai/index.html
  6. 1 2 3 С. М. Никольский, Л. Д. Кудрявцев, О. В. Бесов, С. И. Похожаев, С. А. Теляковский, В. А. Ильин, В. И. Буренков, С. Б. Стечкин, Н. В. Мирошин, В. С. Крючков, «Пётр Иванович Лизоркин (некролог)», УМН, 49:3(297) (1994), 169—170. http://www.mathnet.ru/links/dba40fd468c064076dd00e74a8b54522/rm1529.pdf
  7. О. В. Бесов, Л. Д. Кудрявцев, Н. В. Мирошин, С. М. Никольский, С. И. Похожаев, «Пётр Иванович Лизоркин (к семидесятилетию со дня рождения)», УМН, 48:1(289) (1993), 205—207 http://mi.mathnet.ru/umn1510
  8. П. И. Лизоркин. Обобщённое лиувиллевское дифференцирование и метод мультипликаторов в теории вложений классов функций : Автореферат диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук. — Матем. заметки, 4:4 (1968), 467—482. http://mi.mathnet.ru/mz9469
  9. Кафедра Высшей Математики МИФИ. http://www.kaf30.mephi.ru/htm/zav_.html
  10. Лизоркин П. И. Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами математического анализа. М.: Наука, 1981
  11. Библиографический указатель трудов авторов НИЯУ МИФИ: 1942—2012 гг. — М.: НИЯУ МИФИ, 2012. http://library.mephi.ru/data/bibl-refs/ukaz_mephi_2012..pdf Архивная копия от 29 августа 2013 на Wayback Machine
  12. П. И. Лизоркин, "Обобщённое лиувиллевское дифференцирование и метод мультипликаторов в теории вложений классов дифференцируемых функций" // Тр. МИАН СССР, 105, 1969, 89–167. http://www.mathnet.ru/links/022e833ed6d5a14418726101de2a7a79/tm2967.pdf
  13. П. И. Лизоркин, "Мультипликаторы интегралов Фурье и оценки свёрток в пространствах со смешанной нормой. Приложения" // Изв. АН СССР. Сер. матем., 34:1 (1970), 218–247. http://www.mathnet.ru/links/9de9bb568fe185403684386d0811ffe3/im2413.pdf
  14. П. И. Лизоркин, "Обобщённое лиувиллевское дифференцирование и функциональные пространства . Теоремы вложения" // Матем. сб., 60(102):3 (1963), 325–353 http://www.mathnet.ru/links/7058804a2cf5aae15ca11a15f2b9a817/sm4549.pdf
  15. Трибель X. Теория функциональных пространств. М.: Мир, 1986.
  16. С. А. Гарьковская, "О несепарабельных всплеск-функциях типа Мейера в пространствах Бесова и Лизоркина–Трибеля", Известия Сарат. ун-та. Нов. сер. Серия Математика. Механика. Информатика, 9:2 (2009), 12–18. http://www.mathnet.ru/links/a3cb771fc7a8730061c4528e09ea3186/isu39.pdf
  17. С. С. Кутателадзе. Теория распределений: истоки и значение. http://www.math.nsc.ru/LBRT/g2/english/ssk/dist.pdf
  18. 1 2 Петухов А.П. Введение в теорию базисов всплесков. СПб: Изд-во СПбГТУ, 1999

Ссылки[править | править код]