Через две заданные красные точки принадлежащие интерполируемой функции проведена синяя линия — график интерполирующей функции (линейный интерполянт), значение
y
{\displaystyle y}
в произвольной точке
x
,
{\displaystyle x,}
принадлежащей отрезку, можно найти с помощью формулы линейной интерполяции
Лине́йная интерполя́ция — интерполяция алгебраическим двучленом
P
1
(
x
)
=
a
x
+
b
{\displaystyle P_{1}(x)=ax+b}
функции
f
(
x
)
,
{\displaystyle f(x),}
заданной в двух точках
x
0
{\displaystyle x_{0}}
и
x
1
{\displaystyle x_{1}}
отрезка
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
.
В случае, если заданы значения в нескольких точках, функция заменяется кусочно-линейной функцией .
Формула линейной интерполяции является частным случаем интерполяционной формулы Лагранжа и интерполяционной формулы Ньютона .
Геометрически это означает замену графика функции
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
прямой, проходящей через точки
[
x
0
,
f
(
x
0
)
]
{\displaystyle \left[x_{0},f(x_{0})\right]}
и
[
x
1
,
f
(
x
1
)
]
{\displaystyle \left[x_{1},f(x_{1})\right]}
.
Уравнение такой прямой имеет вид:
y
−
f
(
x
0
)
f
(
x
1
)
−
f
(
x
0
)
=
x
−
x
0
x
1
−
x
0
,
{\displaystyle {\frac {y-f(x_{0})}{f(x_{1})-f(x_{0})}}={\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}},}
отсюда для
x
∈
[
x
0
,
x
1
]
:
{\displaystyle x\in [x_{0},x_{1}]:}
f
(
x
)
≈
y
=
P
1
(
x
)
=
{\displaystyle f(x)\approx y=P_{1}(x)=}
=
f
(
x
0
)
+
f
(
x
1
)
−
f
(
x
0
)
x
1
−
x
0
(
x
−
x
0
)
.
{\displaystyle =f(x_{0})+{\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}(x-x_{0}).}
Это и есть формула линейной интерполяции , при этом:
f
(
x
)
=
P
1
(
x
)
+
R
1
(
x
)
,
{\displaystyle f(x)=P_{1}(x)+R_{1}(x),}
где
R
1
(
x
)
{\displaystyle R_{1}(x)}
— погрешность формулы линейной интерполяции.
Если интерполируемая функция
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
имеет непрерывную вторую производную на отрезке интерполяции, то:
R
1
(
x
)
=
f
″
(
ψ
)
2
(
x
−
x
0
)
(
x
−
x
1
)
,
ψ
∈
[
x
0
,
x
1
]
{\displaystyle R_{1}(x)={\frac {f''(\psi )}{2}}(x-x_{0})(x-x_{1}),\quad \psi \in [x_{0},x_{1}]}
При этом, исходя из теоремы Ролля , справедлива оценка ошибки интерполяции:
|
R
1
(
x
)
|
⩽
M
2
2
max
|
(
x
−
x
0
)
(
x
−
x
1
)
|
=
M
2
h
2
8
;
{\displaystyle |R_{1}(x)|\leqslant {\frac {M_{2}}{2}}\max |(x-x_{0})(x-x_{1})|={\frac {M_{2}h^{2}}{8}};}
M
2
=
max
[
x
0
,
x
1
]
|
f
″
(
x
)
|
;
h
=
x
1
−
x
0
.
{\displaystyle M_{2}=\max _{[x_{0},x_{1}]}|f''(x)|;\quad h=x_{1}-x_{0}.}
На графике — пример кусочно-линейной интерполяции — график заданной функции приближённо представлен в виде ломаной линии
Линейная интерполяция применяется для сокращения размера таблиц таблично заданных функций, при этом значения функции заданы в сокращённом количестве точек, а её значения в точках, отсутствующих в таблице, вычисляются по формуле линейной интерполяции.
Другой пример применения линейной интерполяции — приближенное представление данных в виде кусочно-линейной функции .