Линейная функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Примеры линейных функций.

Линейная функция — функция вида

(для функций одной переменной).

Основное свойство линейных функций: приращение функции пропорционально приращению аргумента. То есть функция является обобщением прямой пропорциональности.

Графиком линейной функции является прямая линия, с чем и связано её название. Это касается вещественной функции одной вещественной переменной.

  • Частный случай линейной функции называется однородными линейными функциями (это в сущности синоним прямой пропорциональности), в отличие от  — неоднородных линейных функций.

Свойства[править | править вики-текст]

  • (угловой коэффициент прямой) является тангенсом угла который прямая образует с положительным направлением оси абсцисс.
  • При , прямая образует острый угол с положительным направлением оси абсцисс.
  • При , прямая образует тупой угол с положительным направлением оси абсцисс.
  • При , прямая параллельна оси абсцисс.

Угол между двумя прямыми, задаваемыми уравнениями и определяется равенством: где то есть прямые не являются взаимно перпендикулярными; при и прямые параллельны.

  • является показателем ординаты точки пересечения прямой с осью ординат.
  • При , прямая проходит через начало координат.

Линейная функция нескольких переменных[править | править вики-текст]

Линейная функция переменных  — функция вида

где  — некоторые фиксированные числа. Областью определения линейной функции является всё -мерное пространство переменных вещественных или комплексных. При линейная функция называется однородной, или линейной формой.

Если все переменные и коэффициенты  — вещественные числа, то графиком линейной функции в -мерном пространстве переменных является -мерная гиперплоскость

в частности при  — прямая линия на плоскости.

Абстрактная алгебра[править | править вики-текст]

Термин «линейная функция», или, точнее, «линейная однородная функция», часто применяется для линейного отображения векторного пространства над некоторым полем в это поле, то есть для такого отображения , что для любых элементов и любых справедливо равенство

причём в этом случае вместо термина «линейная функция» используются также термины линейный функционал и линейная форма — также означающие линейную однородную функцию определённого класса.

Алгебра логики[править | править вики-текст]

Булева функция называется линейной, если существуют такие , где , что для любых имеет место равенство:

.

Нелинейные функции[править | править вики-текст]

Для функций, не являющихся линейными, употребляют термин нелинейные функции. То же относится и к употреблению слова нелинейные в отношении других объектов, не обладающих свойством линейности, например — нелинейные дифференциальные уравнения. Обычно термин используется, когда функциональную зависимость вначале приближают линейной, а потом переходят к изучению более общего случая, часто начиная с младших степеней, например рассматривая квадратичные поправки.

Нелинейные уравнения достаточно произвольны. К примеру, нелинейной является функция .

В ряде случаев этот термин может применяться и к зависимостям , где , то есть к неоднородным линейным функциям, поскольку они не обладают свойством линейности, а именно в этом случае и . Например, нелинейной зависимостью считают для материала с упрочнением (см. теория пластичности).

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

  • Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А.- М.: Наука, 1981.- 720с., ил.