Линейное дифференциальное уравнение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике линейное дифференциальное уравнение имеет вид

где дифференциальный оператор L линеен, y — неизвестная функция , а правая часть  — функция от той же переменной, что и y.

Линейный оператор L можно рассматривать в форме

Уравнения с переменными коэффициентами[править | править вики-текст]

Линейное дифференциальное уравнение порядка n с переменными коэффициентами имеет общий вид

Пример[править | править вики-текст]

Уравнение Коши — Эйлера, используемое в инженерии, является простым примером линейного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами

Уравнение первого порядка[править | править вики-текст]

Пример

Решение уравнения

с начальными условиями

Имеем решение в общем виде

Решение неопределённого интеграла

Можно упростить до

где 4/3, после подстановки начальных условий в решение.

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка с переменными коэффициентами имеет общий вид

Уравнения в такой форме могут быть решены путём умножения на интегрирующий множитель

получим

используем правило дифференцирования произведения

что, после интегрирования обеих частей, дает нам

Таким образом, решение линейного дифференциального уравнения первого порядка

(в частности, с постоянными коэффициентами) имеет вид

где является константой интегрирования.

Пример[править | править вики-текст]

Возьмём дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами:

Это уравнение имеет особое значение для систем первого порядка, таким как RC-схемы и масс-демпфер[неизвестный термин] системы.

В этом случае, p(x) = b, r(x) = 1.

Следовательно, решение будет:

Уравнения с постоянными коэффициентами[править | править вики-текст]