Линейное дифференциальное уравнение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике линейное дифференциальное уравнение имеет вид

где дифференциальный оператор L линеен, y — известная функция , а правая часть  — функция от той же переменной, что и y.

Линейный оператор L можно рассматривать в форме

При этом, если , то такое уравнение называется линейным однородным уравнением, иначе — линейным неоднородным уравнением.

Уравнения с переменными коэффициентами[править | править код]

Линейное дифференциальное уравнение порядка n с переменными коэффициентами имеет общий вид

Пример[править | править код]

Уравнение Коши — Эйлера, используемое в инженерии, является простым примером линейного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами

Уравнение первого порядка[править | править код]

Пример

Решение уравнения

с начальными условиями

Имеем решение в общем виде

Решение неопределённого интеграла

Можно упростить до

где 4/3, после подстановки начальных условий в решение.

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка с переменными коэффициентами имеет общий вид

Уравнения в такой форме могут быть решены путём умножения на интегрирующий множитель

Уравнение запишется

В силу того, что левая часть образует дифференциал произведения

Что, после интегрирования обеих частей, приводит к

Таким образом, решение линейного дифференциального уравнения первого порядка

(в частности, с постоянными коэффициентами) имеет вид

где является константой интегрирования.

Пример[править | править код]

Возьмём дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами:

Это уравнение имеет особое значение для систем первого порядка, таким как RC-схемы и масс-демпфер[неизвестный термин] системы.

В этом случае p(x) = b, r(x) = 1.

Следовательно, решение будет:

См. также[править | править код]

Уравнения с постоянными коэффициентами[править | править код]