Линейное отображение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Лине́йное отображе́ние, лине́йный опера́тор — обобщение линейной числовой функции (точнее, функции ) на случай более общего множества аргументов и значений. Линейные операторы, в отличие от нелинейных, достаточно хорошо исследованы, что позволяет успешно применять результаты общей теории, так как их свойства не зависят от природы величин.

Формальное определение[править | править вики-текст]

Лине́йным отображе́нием векторного пространства над полем в векторное пространство над тем же полем (лине́йным опера́тором из в ) называется отображение

,

удовлетворяющее условию линейности

,
.

для всех и .

Пространство линейных отображений[править | править вики-текст]

Если определить операции сложения и умножения на скаляр из основного поля как

множество всех линейных отображений из в превращается в векторное пространство, которое обычно обозначается как

Ограниченные линейные операторы. Норма оператора[править | править вики-текст]

Если векторные пространства и являются линейными топологическими пространствами, то есть на них определены топологии, относительно которых операции этих пространств непрерывны, то можно определить понятие ограниченного оператора: линейный оператор называется ограниченным, если он переводит ограниченные множества в ограниченные (в частности, все непрерывные операторы ограничены). В частности, в нормированных пространствах множество ограничено, если норма любого его элемента ограничена, следовательно, в этом случае оператор называется ограниченным, если существует число N такое что . Можно показать, что в случае нормированных пространств непрерывность и ограниченность операторов эквивалентны. Наименьшая из постоянных N, удовлетворяющая указанному выше условию, называется нормой оператора:

Введение нормы операторов позволяет рассматривать пространство линейных операторов как нормированное линейное пространство (можно проверить выполнение соответствующих аксиом для введенной нормы). Если пространство банахово, то и пространство линейных операторов тоже банахово.

Обратный оператор[править | править вики-текст]

Оператор называется обратным линейному оператору , если выполняется соотношение:

Оператор , обратный линейному оператору , также является линейным оператором. Если - линейный непрерывный оператор, отображающий одно банахово пространство (или F-пространство) в другое, то и обратный оператор тоже является линейным непрерывным оператором.

Матрица линейного оператора[править | править вики-текст]

Матрица линейного оператора — матрица, выражающая линейный оператор в некотором базисе. Для того, чтобы её получить, необходимо подействовать оператором на векторы базиса и координаты полученных векторов (образов базисных векторов) записать в столбцы матрицы.

Матрица оператора аналогична координатам вектора. При этом действие оператора на вектор равносильно умножению матрицы на столбец координат этого вектора в том же базисе.

Выберем базис . Пусть — произвольный вектор. Тогда его можно разложить по этому базису:

,

где — координаты вектора в выбранном базисе.

Здесь и далее предполагается суммирование по немым индексам.

Пусть — произвольный линейный оператор. Подействуем им на обе стороны предыдущего равенства, получим

.

Вектора также разложим в выбранном базисе, получим

,

где -я координата -го вектора из .

Подставим разложение в предыдущую формулу, получим

.

Выражение , заключённое в скобки, есть ни что иное, как формула умножения матрицы на столбец, и, таким образом, матрица при умножении на столбец даёт в результате координаты вектора , возникшего от действия оператора на вектор , что и требовалось получить.

(!) Комментарий: Если в полученной матрице поменять местами пару столбцов или строк, то мы, вообще говоря, получим уже другую матрицу, соответствующую тому же набору базисных элементов . Иными словами, порядок базисных элементов предполагается жёстко упорядоченным.

Пример преобразования[править | править вики-текст]

Векторы представлены как матрица 2 x 2, образованная сторонами соответствующего единичного квадрата, трансформируемого в параллелограмм.

Рассмотрим в качестве примера матрицу размера 2×2 следующего вида

может быть рассмотрена как матрица преобразования единичного квадрата в параллелограмм с вершинами (0, 0), (a, b), (a + c, b + d), и (c, d). Параллелограмм, показанный на рисунке справа получается путём умножения матрицы A на каждый вектор-столбец и . Эти векторы соответствуют вершинам единичного квадрата.

В следующей таблице приведены примеры матриц 2 × 2 над вещественными числами с соответствующими им линейными преобразованиями R2. Синим цветом обозначена исходная координатная сетка, а зеленым — трансформированная. Начало координат (0,0) обозначено черной точкой.

Горизонтальный сдвиг (m=1.25) Горизонтальное отражение Сжатие (r=3/2) Масштабирование (3/2) Поворот (π/6R = 30°)
VerticalShear m=1.25.svg Flip map.svg Squeeze r=1.5.svg Scaling by 1.5.svg Rotation by pi over 6.svg

Важные частные случаи[править | править вики-текст]

  • Линейная форма — линейный оператор, для которого :
        
  • Линейный эндоморфизм — линейный оператор, для которого :
        
  • Тождественный оператор (единичный оператор)— оператор , отображающий каждый элемент пространства в себя; норма такого оператора равна единице (для нормированных пространств)
  • Нулевой оператор — оператор, переводящий каждый элемент в нулевой элемент .
  • Проектор — оператор сопоставляющий каждому его проекцию на подпространство.
  • Сопряжённый оператор к оператору — оператор на , заданный соотношением .
  • Самосопряжённый оператор — оператор на гильбертовом пространстве, совпадающий со своим сопряжённым оператором. Иногда такие операторы называют гипермаксимальными эрмитовыми.
  • Эрмитов или симметрический оператор — такой оператор , определённый на подпространстве гильбертова пространства, что для всех пар из области определения . Для всюду определённых операторов данное свойство совпадает с самосопряжённостью.
  • Унитарный оператор — оператор, область определения и область значений которого — всё пространство, сохраняющий скалярное произведение ; в частности, унитарный оператор сохраняет норму любого вектора . Оператор, обратный унитарному, совпадает с сопряжённым оператором ; норма унитарного оператора равна 1; в случае вещественного поля К унитарный оператор называют ортогональным.
  • Положительно определённый оператор. Пусть гильбертовы пространства. Тогда линейный оператор называется положительно определённым, если .

Связанные понятия[править | править вики-текст]

  • Образом подмножества[1] относительно линейного отображения A называется множество .
  • Ядром линейного отображения называется подмножество , которое отображается в нуль:
Ядро линейного отображения образует подпространство в линейном пространстве .
  • Образом линейного отображения называется следующее подмножество :
Образ линейного отображения образует подпространство в линейном пространстве .
  • Отображение прямого произведения линейных пространств и в линейное пространство называется билинейным, если оно линейно по обоим своим аргументам. Отображение прямого произведения большего числа линейных пространств называется полилинейным, если оно линейно по всем своим аргументам.
  • Оператор называется линейным неоднородным (или аффинным), если он имеет вид
где  — линейный оператор, а  — вектор.
  • Пусть . Подпространство называется инвариантным относительно линейного отображения, если [2].
Критерий инвариантности. Пусть — подпространство,такое что разлагается в прямую сумму: . Тогда инвариантно относительно линейного отображения тогда и только тогда, когда , где - проектор на подпространство .
  • Фактор-операторы[3]. Пусть  — линейный оператор и пусть  — некоторое инвариантное относительно этого оператора подпространство. Образуем факторпространство по подпространству . Тогда фактор-оператором называется оператор действующий на по правилу: , где — класс из фактор-пространства, содержащий .

Примеры[править | править вики-текст]

Примеры линейных однородных операторов:

  • оператор дифференцирования: ;
  • оператор интегрирования: ;
  • оператор умножения на определённую функцию ;
  • оператор интегрирования с заданным «весом»
  • оператор взятия значения функции в конкретной точке : [4];
  • оператор умножения вектора на матрицу: ;
  • оператор поворота вектора.

Примеры линейных неоднородных операторов:

  • Любое аффинное преобразование;
  • ;
  • ;
  • ;

где , , — вполне определённые функции, а — преобразуемая оператором функция.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. M не обязано быть подпространством.
  2. Или: .
  3. Также употребляется написание фактороператоры.
  4. Иногда обозначается как

См. также[править | править вики-текст]