Диофантово число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Лиувиллево число»)
Перейти к: навигация, поиск

Диофантово число[1] — иррациональное число , при приближении которого рациональным числом ошибка составляет не менее некоторой степени знаменателя:

.

В противном случае, число называют лиувиллевым.

По теореме Лиувилля о приближении алгебраических чисел, всякое алгебраическое иррациональное число является диофантовым. В частности, тем самым, любое лиувиллево число трансцендентно, что позволяет явно строить трансцендентные числа как суммы сверхбыстро сходящихся рядов рациональных чисел.

Диофантовы числа метрически типичны: их множество имеет полную меру Лебега. Лиувиллевы числа, напротив, типичны с топологической точки зрения: их множество остаточно.

Мера иррациональности чисел Лиувилля: , кроме того, если мера иррациональности числа бесконечна, то оно лиувиллево (иногда это свойство принимается за определение чисел Лиувилля).

Классический пример лиувиллева числа — постоянная Лиувилля, определяемая как:

Примечания[править | править код]

  1. Милнор Дж. Голоморфная динамика. Вводные лекции = Dynamics in One Complex Variable. Introductory Lectures. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000.