Логарифмические тождества

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Данная статья содержит сводку разнообразных алгебраических и аналитических тождеств, связанных с логарифмами. Эти тождества особенно полезны при решении алгебраических и дифференциальных уравнений, содержащих логарифмы.

Далее все переменные подразумеваются вещественными, основания логарифма и логарифмируемые выражения положительны, причём основание логарифма не равно 1. Обобщение на комплексные числа см. в статье Комплексный логарифм.

Алгебраические тождества[править | править код]

Из определения логарифма следует основное логарифмическое тождество[1]:

Ещё несколько равенств, очевидных из определения логарифма:

Логарифм произведения, частного от деления, степени и корня[править | править код]

Сводка тождеств[2]:

Формула Пример Доказательство
Произведение
Частное от деления
Степень
Степень в основании
Корень
Корень в основании

Существует очевидное обобщение приведённых формул на случай, когда допускаются отрицательные значения переменных, например:

Формулы для логарифма произведения без труда обобщаются на произвольное количество сомножителей:

Логарифм суммы и разности[править | править код]

Хотя логарифм суммы (или разности) не выражается через логарифмы слагаемых, приведенные ниже формулы могут оказаться полезными.

здесь

Обобщение:

Замена основания логарифма[править | править код]

Логарифм по основанию можно преобразовать[3] в логарифм по другому основанию :

Следствие (при ) — перестановка основания и логарифмируемого выражения:

Другие тождества[править | править код]

Если выражения для основания логарифма и для логарифмируемого выражения содержат возведение в степень, для упрощения можно применить следующее тождество:

Это тождество сразу получается, если в логарифме слева заменить основание на по вышеприведённой формуле замены основания. Следствия:

Ещё одно полезное тождество:

Для его доказательства заметим, что логарифмы левой и правой частей по основанию совпадают (равны ), а тогда левая и правая части тождественно равны. Прологарифмировав предыдущее тождество по произвольному основанию получаем ещё одно тождество «обмена основаниями»:

Это тождество легко распространить на любое число сомножителей, например:

Другими словами, в произведении такого вида можно делать произвольную перестановку оснований логарифмов.

Это тождество также просто доказать, прологарифмировав обе части по основанию

Для доказательства этого тождества надо дважды применить приведенное выше правило перестановки:

Аналитические тождества[править | править код]

Предельные соотношения[править | править код]

Приведём несколько полезных пределов, связанных с логарифмами[4]:

Производная и интеграл[править | править код]

Производная для логарифмической функции вычисляется по формуле:

Определение логарифма через определённый интеграл:

Первообразная для логарифма:

Чтобы привести формулы для интегралов высоких порядков, обозначим е по порядку гармоническое число:

Далее обозначим:

()

Мы получаем последовательность функций:

и т. д. Тогда имеют место тождества:

()
()

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]