Логарифмический декремент колебаний

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Логарифм отношения амплитуд в точках, ограниченных периодом Т, равен логарифмическому декременту колебаний λ

Логарифми́ческий декреме́нт колеба́ний (декреме́нт затуха́ния; от лат. decrementum — «уменьшение, убыль») — безразмерная физическая величина, описывающая уменьшение амплитуды колебательного процесса и равная натуральному логарифму отношения двух последовательных амплитуд колеблющейся величины x в одну и ту же сторону:

 \lambda = \ln \frac{x_0}{x_1}.

Логарифмический декремент колебаний равен коэффициенту затухания β, умноженному на период колебаний T:

 \lambda = \beta T .

Этот параметр применяется, как правило, для линейных колебательных систем, поскольку в нелинейных системах период колебания, вообще говоря, зависит от амплитуды, а закон убывания амплитуды отличается от экспоненциального. В линейных системах колеблющаяся величина изменяется со временем как

 x(t) = Ae^{-\beta t}\cos \omega t,

где A = x(0) — начальная амплитуда,

t — время,
ω = 2π/T — циклическая частота колебания.

Обозначив Xn = x(nT), получаем отсюда, что отношение величин Xk и Xk+1 равно

 X_k/X_{k+1} = \frac{e^{-\beta kT}}{e^{-(k+1) \beta T}}\cdot \frac{\cos (2\pi k)}{\cos (2\pi (k+1))} = e^{\beta T}.

Декремент затухания равен показателю этой экспоненты:

\lambda = \ln (X_k/X_{k+1}) = \ln e^{\beta T} = \beta T.

Если энергия колебательной системы пропорциональна x, то её добротность (относительная потеря энергии за время нарастания фазы на 1 радиан) равна

Q = \frac{2\pi}{1 - e^{-\lambda}},

а декремент затухания выражается через добротность как

\lambda = -\ln \left(1 - \frac{2\pi}{Q}\right).

Для систем с высокой добротностью (т. е. со слабым затуханием) \lambda \ll 1, поэтому можно, разложив e^{-\lambda} в ряд по λ, ограничиться первыми двумя членами и заменить в этих формулах e^{-\lambda} на 1 - \lambda, что приводит к

Q \approx \frac{2\pi}{\lambda},\qquad \lambda \approx \frac{2\pi}{Q}.

Ссылки[править | править вики-текст]