Логарифмическое распределение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Логарифмическое распределение
Функция вероятности
Функция распределения
Обозначение
Параметры
Носитель
Функция вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание
Медиана
Мода
Дисперсия
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Информационная энтропия
Производящая функция моментов
Характеристическая функция

Логарифмическое распределение в теории вероятностей — класс дискретных распределений. Логарифмическое распределение используется в различных приложениях, включая математическую генетику и физику.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть распределение случайной величины задаётся функцией вероятности:

,

где . Тогда говорят, что имеет логарифмическое распределение с параметром . Пишут: .

Функция распределения случайной величины кусочно-постоянна со скачками в натуральных точках:

где неполная бета-функция.

Замечание[править | править вики-текст]

То, что функция действительно является функцией вероятности некоторого распределения, следует из разложения логарифма в ряд Тейлора:

,

откуда

.

Моменты[править | править вики-текст]

Производящая функция моментов случайной величины задаётся формулой

,

откуда

,
.

Связь с другими распределениями[править | править вики-текст]

Пуассоновская сумма независимых логарифмических случайных величин имеет отрицательное биномиальное распределение. Пусть последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, таких что . Пусть — Пуассоновская случайная величина. Тогда

.

Приложения[править | править вики-текст]

Логарифмическое распределение удовлетворительно описывает распределение по размерам астероидов в солнечной системе[источник не указан 128 дней].


Bvn-small.png п о р       Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | Биномиальное | Геометрическое | Гипергеометрическое | Логарифмическое | Отрицательное биномиальное | Пуассона | Дискретное равномерное Мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Гиперэкспоненциальное | Распределение Гомпертца | Колмогорова | Коши | Лапласа | Логнормальное | Нормальное (Гаусса) | Логистическое | Накагами | Парето | Пирсона | Полукруговое | Непрерывное равномерное | Райса | Рэлея | Стьюдента | Трейси — Видома | Фишера | Хи-квадрат | Экспоненциальное | Variance-gamma Многомерное нормальное | Копула