Логистическое распределение

Логистическое распределение
Плотность вероятности
Функция распределения
Обозначение	$L(\mu ,s)$
Параметры	$\mu$ $s>0$
Носитель	$x\in (-\infty ;+\infty )$
Плотность вероятности	${\frac {e^{-(x-\mu )/s}}{s\left(1+e^{-(x-\mu )/s}\right)^{2}}}$
Функция распределения	${\frac {1}{1+e^{-(x-\mu )/s}}}$
Математическое ожидание	$\mu$
Медиана	$\mu$
Мода	$\mu$
Дисперсия	${\frac {\pi ^{2}}{3}}s^{2}$
Коэффициент асимметрии	$0$
Коэффициент эксцесса	$6/5$
Дифференциальная энтропия	$\ln(s)+2$
Производящая функция моментов	$e^{\mu \,t}\,\mathrm {B} (1-s\,t,\;1+s\,t)$ для $|s\,t|<1$, Бета-функция
Характеристическая функция	$e^{i\mu t}\,\mathrm {B} (1-ist,\;1+ist)$ для $|ist|<1$

Логисти́ческое распределе́ние в теории вероятностей и математической статистике — один из видов абсолютно непрерывных распределений. Формой напоминает нормальное распределение, но имеет более «тяжёлые» концы и больший коэффициент эксцесса.

Определение

Функция плотности

Функция плотности вероятности логистического распределения задаётся формулой:

$f(x;\mu ,s)={\frac {e^{-(x-\mu )/s}}{s\left(1+e^{-(x-\mu )/s}\right)^{2}}}$

$={\frac {1}{4\,s}}\;\operatorname {sech} ^{2}\!\left({\frac {x-\mu }{2\,s}}\right).$

Альтернативная параметризация задается подстановкой $\sigma ^{2}=\pi ^{2}\,s^{2}/3$. Тогда функция плотности имеет вид:

$g(x;\mu ,\sigma )=f(x;\mu ,\sigma {\sqrt {3}}/\pi )={\frac {\pi }{\sigma \,4{\sqrt {3}}}}\,\operatorname {sech} ^{2}\!\left({\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}\,{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right).$

Функция распределения

Кумулятивной функцией распределения является логистическая функция:

$F(x;\mu ,s)={\frac {1}{1+e^{-(x-\mu )/s}}}$

$={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\;\operatorname {tanh} \!\left({\frac {x-\mu }{2\,s}}\right).$

Квантили

Обратная функция к кумулятивной функции распределения ($F^{-1}$), обобщение logit-функции:

$F^{-1}(p;\mu ,s)=\mu +s\,\ln \left({\frac {p}{1-p}}\right).$

Моменты распределения

Математическое ожидание

$\mathbb {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {xe^{-(x-\mu )/s}}{s\left(1+e^{-(x-\mu )/s}\right)^{2}}}\!dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x}{4\,s}}\;\operatorname {sech} ^{2}\!\left({\frac {x-\mu }{2\,s}}\right)dx$

Подставляем: $u={\frac {(x-\mu )}{2s}},du={\frac {1}{2s}}dx$

$\mathbb {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2\,s\,u+\mu }{2}}\;\operatorname {sech} ^{2}\!\left(u\right)du$

$\mathbb {E} [X]=s\int _{-\infty }^{\infty }u\;\operatorname {sech} ^{2}\!\left(u\right)du+{\frac {\mu }{2}}\int _{-\infty }^{\infty }\;\operatorname {sech} ^{2}\!\left(u\right)du$

Справедливо равенство: $\int _{-\infty }^{\infty }u\;\operatorname {sech} ^{2}\!\left(u\right)du=0$

$\mathbb {E} [X]={\frac {\mu }{2}}\int _{-\infty }^{\infty }\;\operatorname {sech} ^{2}\!\left(u\right)du={\frac {\mu }{2}}\,2=\mu$

Моменты высших порядков

Центральный момент n-го порядка может быть вычислен как:

${\begin{aligned}\mathbb {E} [(X-\mu )^{n}]&=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{n}dF(x)=\int _{0}^{1}{\big (}F^{-1}(p)-\mu {\big )}^{n}dp\\&=s^{n}\int _{0}^{1}{\Big [}\ln \!{\Big (}{\frac {p}{1-p}}{\Big )}{\Big ]}^{n}\,dp.\end{aligned}}$

Интеграл может быть выражен через числа Бернулли:

$\mathbb {E} [(X-\mu )^{n}]=s^{n}\pi ^{n}(2^{n}-2)\cdot |B_{n}|.$

Литература

• N. Balakrishnan (1992). Handbook of the Logistic Distribution. Marcel Dekker, New York. ISBN 0-8247-8587-8.
• Johnson, N. L., Kotz, S., Balakrishnan N. (1995). Continuous Univariate Distributions. Vol. 2 (2nd Ed. ed.). ISBN 0-471-58494-0.