Логистическое распределение Плотность вероятности Функция распределения
Обозначение
L
(
μ
,
s
)
{\displaystyle L(\mu ,s)}
Параметры
μ
{\displaystyle \mu }
s
>
0
{\displaystyle s>0}
Носитель
x
∈
(
−
∞
;
+
∞
)
{\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )}
Плотность вероятности
e
−
(
x
−
μ
)
/
s
s
(
1
+
e
−
(
x
−
μ
)
/
s
)
2
{\displaystyle {\frac {e^{-(x-\mu )/s}}{s\left(1+e^{-(x-\mu )/s}\right)^{2}}}}
Функция распределения
1
1
+
e
−
(
x
−
μ
)
/
s
{\displaystyle {\frac {1}{1+e^{-(x-\mu )/s}}}}
Математическое ожидание
μ
{\displaystyle \mu }
Медиана
μ
{\displaystyle \mu }
Мода
μ
{\displaystyle \mu }
Дисперсия
π
2
3
s
2
{\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{3}}s^{2}}
Коэффициент асимметрии
0
{\displaystyle 0}
Коэффициент эксцесса
6
/
5
{\displaystyle 6/5}
Дифференциальная энтропия
ln
(
s
)
+
2
{\displaystyle \ln(s)+2}
Производящая функция моментов
e
μ
t
B
(
1
−
s
t
,
1
+
s
t
)
{\displaystyle e^{\mu \,t}\,\mathrm {B} (1-s\,t,\;1+s\,t)}
для
|
s
t
|
<
1
{\displaystyle |s\,t|<1}
, Бета-функция
Характеристическая функция
e
i
μ
t
B
(
1
−
i
s
t
,
1
+
i
s
t
)
{\displaystyle e^{i\mu t}\,\mathrm {B} (1-ist,\;1+ist)}
для
|
i
s
t
|
<
1
{\displaystyle |ist|<1}
Логисти́ческое распределе́ние в теории вероятностей и математической статистике — один из видов абсолютно непрерывных распределений . Формой напоминает нормальное распределение , но имеет более «тяжёлые» концы и больший коэффициент эксцесса .
Функция плотности вероятности логистического распределения задаётся формулой:
f
(
x
;
μ
,
s
)
=
e
−
(
x
−
μ
)
/
s
s
(
1
+
e
−
(
x
−
μ
)
/
s
)
2
{\displaystyle f(x;\mu ,s)={\frac {e^{-(x-\mu )/s}}{s\left(1+e^{-(x-\mu )/s}\right)^{2}}}}
=
1
4
s
sech
2
(
x
−
μ
2
s
)
.
{\displaystyle ={\frac {1}{4\,s}}\;\operatorname {sech} ^{2}\!\left({\frac {x-\mu }{2\,s}}\right).}
Альтернативная параметризация задается подстановкой
σ
2
=
π
2
s
2
/
3
{\displaystyle \sigma ^{2}=\pi ^{2}\,s^{2}/3}
. Тогда функция плотности имеет вид:
g
(
x
;
μ
,
σ
)
=
f
(
x
;
μ
,
σ
3
/
π
)
=
π
σ
4
3
sech
2
(
π
2
3
x
−
μ
σ
)
.
{\displaystyle g(x;\mu ,\sigma )=f(x;\mu ,\sigma {\sqrt {3}}/\pi )={\frac {\pi }{\sigma \,4{\sqrt {3}}}}\,\operatorname {sech} ^{2}\!\left({\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}\,{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right).}
Кумулятивной функцией распределения является логистическая функция :
F
(
x
;
μ
,
s
)
=
1
1
+
e
−
(
x
−
μ
)
/
s
{\displaystyle F(x;\mu ,s)={\frac {1}{1+e^{-(x-\mu )/s}}}}
=
1
2
+
1
2
tanh
(
x
−
μ
2
s
)
.
{\displaystyle ={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\;\operatorname {tanh} \!\left({\frac {x-\mu }{2\,s}}\right).}
Обратная функция к кумулятивной функции распределения (
F
−
1
{\displaystyle F^{-1}}
), обобщение logit -функции:
F
−
1
(
p
;
μ
,
s
)
=
μ
+
s
ln
(
p
1
−
p
)
.
{\displaystyle F^{-1}(p;\mu ,s)=\mu +s\,\ln \left({\frac {p}{1-p}}\right).}
E
[
X
]
=
∫
−
∞
∞
x
e
−
(
x
−
μ
)
/
s
s
(
1
+
e
−
(
x
−
μ
)
/
s
)
2
d
x
=
∫
−
∞
∞
x
4
s
sech
2
(
x
−
μ
2
s
)
d
x
{\displaystyle \mathbb {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {xe^{-(x-\mu )/s}}{s\left(1+e^{-(x-\mu )/s}\right)^{2}}}\!dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x}{4\,s}}\;\operatorname {sech} ^{2}\!\left({\frac {x-\mu }{2\,s}}\right)dx}
Подставляем:
u
=
(
x
−
μ
)
2
s
,
d
u
=
1
2
s
d
x
{\displaystyle u={\frac {(x-\mu )}{2s}},du={\frac {1}{2s}}dx}
E
[
X
]
=
∫
−
∞
∞
2
s
u
+
μ
2
sech
2
(
u
)
d
u
{\displaystyle \mathbb {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2\,s\,u+\mu }{2}}\;\operatorname {sech} ^{2}\!\left(u\right)du}
E
[
X
]
=
s
∫
−
∞
∞
u
sech
2
(
u
)
d
u
+
μ
2
∫
−
∞
∞
sech
2
(
u
)
d
u
{\displaystyle \mathbb {E} [X]=s\int _{-\infty }^{\infty }u\;\operatorname {sech} ^{2}\!\left(u\right)du+{\frac {\mu }{2}}\int _{-\infty }^{\infty }\;\operatorname {sech} ^{2}\!\left(u\right)du}
Справедливо равенство:
∫
−
∞
∞
u
sech
2
(
u
)
d
u
=
0
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }u\;\operatorname {sech} ^{2}\!\left(u\right)du=0}
E
[
X
]
=
μ
2
∫
−
∞
∞
sech
2
(
u
)
d
u
=
μ
2
2
=
μ
{\displaystyle \mathbb {E} [X]={\frac {\mu }{2}}\int _{-\infty }^{\infty }\;\operatorname {sech} ^{2}\!\left(u\right)du={\frac {\mu }{2}}\,2=\mu }
Центральный момент n -го порядка может быть вычислен как:
E
[
(
X
−
μ
)
n
]
=
∫
−
∞
∞
(
x
−
μ
)
n
d
F
(
x
)
=
∫
0
1
(
F
−
1
(
p
)
−
μ
)
n
d
p
=
s
n
∫
0
1
[
ln
(
p
1
−
p
)
]
n
d
p
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} [(X-\mu )^{n}]&=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{n}dF(x)=\int _{0}^{1}{\big (}F^{-1}(p)-\mu {\big )}^{n}dp\\&=s^{n}\int _{0}^{1}{\Big [}\ln \!{\Big (}{\frac {p}{1-p}}{\Big )}{\Big ]}^{n}\,dp.\end{aligned}}}
Интеграл может быть выражен через числа Бернулли :
E
[
(
X
−
μ
)
n
]
=
s
n
π
n
(
2
n
−
2
)
⋅
|
B
n
|
.
{\displaystyle \mathbb {E} [(X-\mu )^{n}]=s^{n}\pi ^{n}(2^{n}-2)\cdot |B_{n}|.}
N. Balakrishnan (1992). Handbook of the Logistic Distribution . Marcel Dekker, New York. ISBN 0-8247-8587-8 .
Johnson, N. L., Kotz, S., Balakrishnan N. (1995). Continuous Univariate Distributions . Vol. 2 (2nd Ed. ed.). ISBN 0-471-58494-0 .
Дискретные Абсолютно непрерывные