Локальное поле
Перейти к навигации
Перейти к поиску
Локальное поле — определённый тип полей с топологией, часто возникающих как пополнения полей.
Определение
[править | править код]Локально компактное топологическое поле с недискретной топологией называется локальным.
Типы
[править | править код]Существует два основных вида локальных полей: те, в которых абсолютное значение архимедово, и те, в которых это не так. Первые называют архимедовыми локальными полями, а вторые — неархимедовыми локальными полями.
Любое локальное поле изоморфно (как топологическое поле) одному из следующих полей:
- Архимедовы локальные поля (характеристика равна нулю): поле вещественных чисел и поле комплексных чисел .
- Неархимедовы локальные поля нулевой характеристики: р-адические числа и их конечные расширения.
- Неархимедовы локальные поля характеристики : формальные ряды Лорана над конечным полем . (Все их конечные расширения тоже изоморфны полям того же вида.)
Свойства
[править | править код]Общие свойства
[править | править код]- Аддитивная группа локального поля, как любая локально компактная топологическая группа, обладает единственной (с точностью до умножения на положительное число) мерой Хаара μ.
- На любом локальном поле можно ввести абсолютную величину такую, что
- для некоторого (а значит и любого) измеримого подмножества с ненулевой конечной мерой Хаара.
Неархимедовы поля
[править | править код]- В неархимедовом локальном поле с абсолютной величиной можно дать следующие определения:
- Кольцо целых чисел
- Оно образует дискретное нормированное кольцо и компактный шар в .
- Единицы в кольце целых чисел определяются как .
- Они образуют группу и единичную сферу в .
- Единственный ненулевой простой идеал в кольце целых чисел является открытым единичным шаром
- Кольцо целых чисел
- и его образующий элемент называется униформизирующим элементом .
- Поле остатков является конечным, поскольку компактно и дискретно.
- При этом , где — мощность поля остатков .
- Каждый ненулевой элемент можно записать как , где — единичный элемент, — целое число, определяемое однозначно по .
- В частности
См. также
[править | править код]В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). |