Локальное поле

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Локальное поле — определённый тип полей с топологией, часто возникающих как пополнения полей.

Определение

[править | править код]

Локально компактное топологическое поле с недискретной топологией называется локальным.

Существует два основных вида локальных полей: те, в которых абсолютное значение архимедово, и те, в которых это не так. Первые называют архимедовыми локальными полями, а вторые — неархимедовыми локальными полями.

Любое локальное поле изоморфно (как топологическое поле) одному из следующих полей:

Общие свойства

[править | править код]
для некоторого (а значит и любого) измеримого подмножества с ненулевой конечной мерой Хаара.

Неархимедовы поля

[править | править код]
  • В неархимедовом локальном поле с абсолютной величиной можно дать следующие определения:
    • Кольцо целых чисел
      • Оно образует дискретное нормированное кольцо и компактный шар в .
    • Единицы в кольце целых чисел определяются как .
      • Они образуют группу и единичную сферу в .
    • Единственный ненулевой простой идеал в кольце целых чисел является открытым единичным шаром
и его образующий элемент называется униформизирующим элементом .
  • Поле остатков является конечным, поскольку компактно и дискретно.
  • При этом , где — мощность поля остатков .
  • Каждый ненулевой элемент можно записать как , где  — единичный элемент,  — целое число, определяемое однозначно по .
    • В частности

Глобальное поле