Локально тривиальное расслоение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Локально тривиальное расслоениерасслоение, которое локально выглядит как прямое произведение.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть , и суть топологические пространства. Сюрьективное отображение называется локально тривиальным расслоением пространства над базой со слоем   если для всякой точки базы существует окрестность , над которой расслоение тривиально. Последнее означает, что существует гомеоморфизм , такой что коммутативна диаграмма

Local triviality condition.

Здесь  — проекция произведения пространств на первый сомножитель.

Пространство также называется тотальным пространством расслоения или расслоенным пространством.

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Сечение расслоения — это отображение , такое что . Вообще говоря, не каждое расслоение имеет сечение. Например, пусть  — многообразие, а — подрасслоение векторов единичной длины в касательном расслоении . Тогда сечение расслоения  — это векторное поле без нулей на . Теорема о причёсывании ежа показывает, что на сфере такого поля не существует.
  • Множество называется слоем расслоения над точкой . Каждый слой гомеоморфен пространству , поэтому пространство называется общим (или модельным) слоем расслоения ,
  • Гомеоморфизм , отождествляющий ограничение расслоения над окрестностью точки с некоторым тривиальным расслоением, называется локальной тривиализацией расслоения над окрестностью точки .
  • Если  — покрытие базы открытыми множествами, и  — соответствующие им отображения тривиализации, тогда семейство называется тривиализующим атласом расслоения .
  • Предположим локально тривиальное расслоение снабжено покрытием базы с выделенной тривиализацией и сужение любого отображения сличения на слой принадлежит некоторой подгруппе группы всех автоморфизмов . Тогда называется локально тривиальным расслоением со структурной группой .

Примеры[править | править вики-текст]

  • Тривиальное расслоение, то есть проекция на первый сомножитель.
  • Любое накрытие является локально тривиальным расслоением с дискретным слоем.
  • Касательное, кокасательное и тензорные расслоения над произвольным многообразием локально тривиальны.
  • Если на пространстве задано непрерывное свободное действие группы , то естественное отображение является локально тривиальным расслоением. Расслоения такого типа называются главными.
  • Лист Мёбиуса — пространство нетривиального расслоения над окружностью.
  • Расслоение Хопфа — это нетривиальное расслоение . Оно не имеет сечений, так как оно является главным расслоением со структурной группой , а любое главное расслоение, допускающее сечение, тривиально.
  • Сконструировать расслоение можно, задав произвольно его базу (пространство ), общий слой (пространство ) и отображения перехода (1-коцикл Чеха ) для какого-нибудь открытого покрытия пространства . Тогда пространство E формально можно получить как множество троек вида с правилом отождествления:
, если

Свойства[править | править вики-текст]

  • Для локально тривиальных расслоений верна теорема о накрывающей гомотопии. Пусть заданы  — локально тривиальное расслоение, отображения и , так что , и гомотопия отображения (). Тогда существует гомотопия отображения , такая что диаграмма коммутативна
  • Пусть имеется локально тривиальное расслоение со слоем (иногда записываемое формально как ). Тогда последовательность гомотопических групп точна:
  • Отображения перехода удовлетворяют условию 1-коцикла Чеха:
Если , то .
  • Два расслоения над одной и той же базой и с одним и тем же общим слоем изоморфны тогда и только тогда, когда 1-коциклы Чеха, соответствующие им, когомологичны. (Отметим, что в случае, когда группа некоммутативна, одномерные когомологии не образуют группу, а образуют множество, на котором действует (слева) группа 0-коцепей Чеха :
    ,
где  — 0-коцепь Чеха, действующая на 1-коцикл Чеха . 1-коциклы называются когомологичными, если они лежат в одной орбите этого действия.)
  • Для любого локально тривиального расслоения и непрерывного отображения индуцированное расслоение является локально тривиальным.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

  • Если пространства  — гладкие (дифференцируемые) многообразия, отображение  — гладкое и допускающее тривиализующий атлас с гладкими отображениями тривиализации, то само расслоение называется гладким расслоением.
  • Расслоение называется голоморфным, если пространства — комплексные многообразия, отображение  — голоморфное и существует тривиализующий атлас с голоморфными отображениями тривиализации.
  • Главное расслоение.

См. Также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7.