Локсодрома

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Локсодрома от полюса до полюса

Локсодрома или локсодромия — кривая на поверхности вращения, пересекающая все меридианы под постоянным углом, называемым локсодромическим путевым углом.

Формулы, задающие локсодрому сферы в декартовой системе координат, имеют вид:

Здесь и  — гиперболические косинус и тангенс.

История[править | править вики-текст]

Введена в рассмотрение португальским математиком Нониусом в 1529 году[1].

В геодезии и картографии[править | править вики-текст]

На поверхности Земли локсодромами являются все параллели и все меридианы. Остальные локсодромы являются спиралями, совершающими неограниченное число витков, приближаясь к полюсам. Тем не менее, если путешественник будет двигаться по любой локсодроме (кроме параллелей) с постоянной скоростью не останавливаясь, то он обязательно придёт к одному из полюсов за конечное время. Картографическая проекция, в которой все локсодромы изображены прямыми, называется проекцией Меркатора.

В навигации[править | править вики-текст]

Если передвигаться с фиксированным путевым углом по Земле, которую условно принять за сферу или эллипсоид, то траектория движения объекта и будет локсодромией[2]. Локсодрома не является кратчайшим путём между двумя пунктами (исключение — меридианы и экватор). Тем не менее, в старину суда и путешественники нередко двигались по локсодромам, так как идти под постоянным углом к Полярной звезде проще и удобнее. С изобретением компаса мореплаватели перешли на движение по «магнитным локсодромам», то есть по линиям с постоянным углом к магнитному северу, что дало возможность продолжать движение и в облачную погоду. Но как только были выяснены магнитные склонения во всех местах Земли, люди вновь перешли на обычные локсодромы. Даже в XX веке локсодромия использовалась при расчёте требуемого курса при прокладке маршрута самолётов и морских судов. Со временем, когда появились приборы с достаточной вычислительной мощностью для вычисления текущего требуемого путевого угла, начали активно применять ортодромию (кратчайший путь), особенно для дальних маршрутов самолётов[3].

Построение локсодромы сферы[править | править вики-текст]

Для того чтобы на полетных картах проложить локсодромический путь, необходимо соединить конечные точки маршрута прямой линией и измерить путевой угол у среднего меридиана. Точнее, локсодромический путевой угол рассчитывается как средний угол, снятый у начальной и конечной точек маршрута. После этого полученный путевой угол строят последовательно у всех меридианов на карте, начиная от пункта вылета. Полученная при построении ломаная линия практически близко подходит к локсодромии. Более точно локсодромический путевой угол a может быть вычислен по формуле:

,

  • где  — искомый путевой угол;
  • и  — широты пунктов вылета и прибытия;
  • и  — долготы этих пунктов;
  •  — средняя широта перелета.

Пример. Определить истинный локсодромический путевой угол при полете из г. Реймса в г. Потсдам.

Решение. Определяем координаты:

 — Реймса
 — Потсдама

средняя широта ; . Следовательно,

,
.

Полученный результат будет правильным, если конечная точка маршрута лежит в первой четверти (0 — 90°). Если конечная точка лежит во второй четверти (90° — 180°), искомый путевой угол получают, вычитая полученное число градусов из 180°. Если же конечная точка находится в третьей четверти (180° — 270°), к полученному углу прибавляют 180°, а если в четвёртой четверти (270° — 360°), то полученный угол вычитают из 360°.

Длина локсодромии в км определяется по формулам:

а) Для углов , близких к 0° или 180°,

км,

где и  — широты пунктов вылета и прибытия, выраженные в минутах, или

км,

где и выражены в градусах.

б) Для углов , близких к 90° или 270°,

км.

Разность между длинами локсодромии и ортодромии DS достигает своей максимальной величины при полете вдоль параллели.

Так, например, длина локсодромии между Реймсом и Потсдамом из предыдущего примера может быть приближённо вычислена по формуле:

км.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Шаль, Мишель. Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. Гл. III, n. 39.
  2. Это нетрудно доказать, используя определения путевого угла и определение локсодромии.
  3. Для экономии топлива и сокращения времени в пути.

Ссылки[править | править вики-текст]