Луч (геометрия)

Не следует путать с числовым лучом и радиусом.

Луч $k$, он же $AB$

Полупряма́я, или открытый луч, — множество всех точек прямой, которые находятся по одну сторону с некоторой точкой на этой прямой, другими словами, полупрямая — одна из двух частей прямой, на которые делится прямая её произвольной точкой. Эта точка определяет полупрямую и является границей полупрямой.

В устаревшей трактовке граница полупрямой ей принадлежала, понятия «полупрямая» и «луч» совпадали.

Луч, или замкнутый луч, или замкнутая полупрямая, — полупрямая со своей границей. Эта точка, граница замкнутой полупрямой, называется также началом луча. Луч выходит из этой точки. Конец у луча (полупрямой) отсутствует.

Как правило, луч (полупрямую) обозначают какой-нибудь строчной латинской буквой, например $k$, или двумя прописными латинскими буквами, первая из которых — начало луча, а вторая — произвольная точка на полупрямой, например $AB$.

Точка $x+a$ на луче

Для любого неотрицательного числа a на заданном луче с началом X существует единственная точка A, находящаяся на расстоянии a от точки X.

Полупрямая и луч — два вида бесконечных промежутков числовой прямой.

Строгую терминологию для понятий прямой, луча и отрезка установил Якоб Штейнер в 1833 году.

Определение полупрямой и луча

Полупрямая — множество всех точек $M$ прямой, которые находятся по ту же сторону от некоторой точки $P$ на этой прямой, что и некоторая заданная точка $A$, отличная от точки $P$, то есть полупрямая — это точка $A$ и множество всех точек $M$, отличных от $P$ и таких, что $P$ не лежит между $A$ и $M$. Точка $P$ определяет полупрямую и является границей полупрямой.

Луч, или замкнутый луч, или замкнутая полупрямая, — полупрямая со своей границей. Эта точка, граница замкнутой полупрямой, называется также началом луча. Луч выходит из этой точки. Конец у луча (полупрямой) отсутствует.

Теорема 1. Произвольная точка $P$ на прямой делит эту прямую на две полупрямых (на два луча). Более формально: на прямой существуют точки $A$ и $B$, отличные от точки $P$ такие, что разные полупрямые (разные лучи), которым принадлежат эти точки, заполняют с точкой $P$ (просто заполняют) всю прямую и имеют своими границами точку $P$ (имеют единственную общую точку $P$).

Дополнительные лучи (дополнительные полупрямые) — лучи (полупрямые) на одной прямой, разделённые общим началом (общей границей) $P$: луч, дополнительный к лучу $k$, обозначается ${\bar {k}}$.

Теорема 2. Две точки $A\neq P$ и $B\neq P$ на одной прямой лежат на одном и том же луче (на одной и той же полупрямой) с началом $P$ (с границей $P$) тогда и только тогда, когда $P$ не принадлежит интервалу $(AB)$, $P\notin (AB)$, и лежат на дополнительных лучах (на полупрямых), когда $P\in (AB)$.

Строгую терминологию для понятий прямой, луча и отрезка установил Якоб Штейнер в 1833 году.

Сонаправленные полупрямые и лучи

Лучи $AC$ и $BC$ сонаправлены, $AC\upuparrows BC$. Лучи $BA$ и $BC$ противоположно направлены, $BA\uparrow \downarrow BC$

Сонаправленные лучи (сонаправленные полупрямые) на прямой — два луча (две полупрямые) $k_{1}$ и $k_{2}$, которые лежат на одной прямой и их пересечение — луч (полупрямая); обозначение: $k_{1}\upuparrows k_{2}$. Если их пересечение отрезок (интервал), то они противоположно направлены; обозначение: $k_{1}\uparrow \downarrow k_{2}$.

Лучи $k_{1}$ и $k_{2}$ сонаправлены, $k_{1}\upuparrows k_{2}$. Лучи $k_{1}$ и $k_{3}$ противоположно направлены, $k_{1}\uparrow \downarrow k_{3}$

Сонаправленные лучи (сонаправленные полупрямые) на плоскости — два луча (две полупрямые) $k_{1}$ и $k_{2}$, которые лежат на параллельных прямых и принадлежат одной полуплоскости с границей, проходящей через начала лучей (через границы полупрямых); обозначение: $k_{1}\upuparrows k_{2}$. Если они принадлежат разным указанным полуплоскостям, то они противоположно направлены; обозначение: $k_{1}\uparrow \downarrow k_{2}$.

Из сонаправленности лучей (полупрямых) $k_{1}\upuparrows k_{2}$ следует противоположная направленность лучей (полупрямых) ${\bar {k_{1}}}\uparrow \downarrow k_{2}$.

Теорема 1. Два луча (две полупрямые) противоположно направлены тогда и только тогда, когда они центрально симметричны относительно некоторой точки</math>.

Теорема 2 (транзитивность сонаправленности лучей (полупрямых)). Если два луча (две полупрямые) одновременно сонаправлены третьему лучу (третьей полупрямой), то они сонаправлены друг другу</math>.

Литература

• Александрова Н. В.. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник (рус.). — 3-е изд., испр. — М.: ЛКИ, 2008. — 246 с., ил. — ISBN 978-5-382-00839-4.
• Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.. Геометрия. 7—9 классы : учеб. для общеобразоват. организаций (рус.) / под науч. рук. акад. А. Н. Тихонова. — 2-е изд. — М.: «Просвещение», 2014. — 383 с., ил. — Доп. тираж 50 000 экз. — ISBN 978-5-09-032008-5.
• Виленкин Н. Я., Нешков К. И., Шварцбурд С. И., Чесноков А. С., Семушин А. Д.. Математика. Учебник для 4-го класса средней школы (рус.) / под ред. А. И. Маркушевича. — 8-е изд. — М.: «Просвещение», 1977. — 240 с., ил. — 1700 тыс. экз.
• Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф.. Математический словарь высшей школы: Общая часть (рус.) / под. ред. проф. Ю. С. Богданова. — Минск: «Высшая школа», 1984. — 527 с., ил. — 41 000 экз.
• Гусятников П. Б., Резниченко С. В.. Векторная алгебра в примерах и задачах: Учеб. пособие для студентов инж.-тех. спец. вузов (рус.). — М.: «Высшая школа», 1985. — 232 с., ил. — 50 000 тыс. экз.
• Киселёв М. А. Элементарная геометрия. Книга для учителя (рус.). — копия 12-е изд. (1931). — М.: «Просвещение», 1980. — 286 с., ил.
• Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? Элементарный очерк идей и методов = Richard Courant, Herbert Robbins. What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods (рус.) / пер. с англ. под ред. А. Н. Колмогорова. — 7-е изд., стереотип. — М.: Издательство МЦНМО, 2015. — 564 с., ил. — 2000 экз. — ISBN 978-5-4439-0628-7.
• Полупрямая // Большая советская энциклопедия. (В 30 томах) (рус.) / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М.: «Советская энциклопедия», 1975. — Т. 20 Плата — проб. — С. 276. — 608 с., ил., 17 л. ил., 4 л. карт. — 630 тыс. экз.
• Полупрямая // Математическая энциклопедия (рус.) / гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: «Советская энциклопедия», 1984. — Т. 4 Ок—Сло. — Стб. 466. — 1216 стб., ил. — 148 900 экз.
• Полупрямая // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. Ред. кол. С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. — М.: «Советская энциклопедия», 1988. — С. 474. — 847 с., ил. — 148 900 экз.
• Розенфельд Б. А. Аксиомы и основные понятия геометрии // Энциклопедия элементарной математики (рус.) / гл. ред.: П. С. Александров, А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин; редакторы книги четвёртой: В. Г. Болтянский, И. М. Яглом. — М.: Физматлит, 1963. — Т. 4 Геометрия. — С. 9—48. — 567 с., ил. — 20 000 экз.