Луч (геометрия)

Полупряма́я[комм 1], или открытый луч, — множество всех точек прямой, которые находятся по одну сторону с некоторой точкой на этой прямой[1][2], другими словами, полупрямая — одна из двух частей прямой, на которые делится прямая её произвольной точкой[3]. Эта точка определяет полупрямую[4] и является границей полупрямой[1][2].
В устаревшей трактовке граница полупрямой ей принадлежала, понятия «полупрямая» и «луч» совпадали[5].
Луч, или замкнутый луч, или замкнутая полупрямая, — полупрямая со своей границей[1][3][2]. Эта точка, граница замкнутой полупрямой, называется также началом луча[6][7][8]. Луч выходит из этой точки[6]. Конец у луча (полупрямой) отсутствует[7].
Как правило, луч (полупрямую) обозначают какой-нибудь строчной латинской буквой, например , или двумя прописными латинскими буквами, первая из которых — начало луча, а вторая — произвольная точка на полупрямой, например [6].

Для любого неотрицательного числа a на заданном луче с началом X существует единственная точка A, находящаяся на расстоянии a от точки X.
Полупрямая и луч — два вида бесконечных промежутков числовой прямой[9].
Строгую терминологию для понятий прямой, луча и отрезка установил Якоб Штейнер в 1833 году[10].
Определение полупрямой и луча
[править | править код]Полупрямая[комм 1] — множество всех точек прямой, которые находятся по ту же сторону от некоторой точки на этой прямой, что и некоторая заданная точка , отличная от точки , то есть полупрямая — это точка и множество всех точек , отличных от и таких, что не лежит между и [11]. Точка определяет полупрямую[4] и является границей полупрямой[1][2].
Луч, или замкнутый луч, или замкнутая полупрямая, — полупрямая со своей границей[1][3][2]. Эта точка, граница замкнутой полупрямой, называется также началом луча[6][7]. Луч выходит из этой точки[6]. Конец у луча (полупрямой) отсутствует[7].
Теорема 1. Произвольная точка на прямой делит эту прямую на две полупрямых (на два луча). Более формально: на прямой существуют точки и , отличные от точки такие, что разные полупрямые (разные лучи), которым принадлежат эти точки, заполняют с точкой (просто заполняют) всю прямую и имеют своими границами точку (имеют единственную общую точку )[11].
Дополнительные лучи (дополнительные полупрямые) — лучи (полупрямые) на одной прямой, разделённые общим началом (общей границей) : луч, дополнительный к лучу , обозначается [8].
Теорема 2. Две точки и на одной прямой лежат на одном и том же луче (на одной и той же полупрямой) с началом (с границей ) тогда и только тогда, когда не принадлежит интервалу , , и лежат на дополнительных лучах (на полупрямых), когда [8].
Строгую терминологию для понятий прямой, луча и отрезка установил Якоб Штейнер в 1833 году[10].
Сонаправленные полупрямые и лучи
[править | править код]
Сонаправленные лучи (сонаправленные полупрямые) на прямой — два луча (две полупрямые) и , которые лежат на одной прямой и их пересечение — луч (полупрямая); обозначение: . Если их пересечение отрезок (интервал), то они противоположно направлены; обозначение: [8].

Сонаправленные лучи (сонаправленные полупрямые) на плоскости — два луча (две полупрямые) и , которые лежат на параллельных прямых и принадлежат одной полуплоскости с границей, проходящей через начала лучей (через границы полупрямых); обозначение: . Если они принадлежат разным указанным полуплоскостям, то они противоположно направлены; обозначение: [8].
Из сонаправленности лучей (полупрямых) следует противоположная направленность лучей (полупрямых) [12].
Теорема 1. Два луча (две полупрямые) противоположно направлены тогда и только тогда, когда они центрально симметричны относительно некоторой точки</math>[12].
Теорема 2 (транзитивность сонаправленности лучей (полупрямых)). Если два луча (две полупрямые) одновременно сонаправлены третьему лучу (третьей полупрямой), то они сонаправлены друг другу</math>[12].
Примечания
[править | править код]Комментарии
[править | править код]Источники
[править | править код]- ↑ 1 2 3 4 5 Полупрямая. БСЭ 3, 1975.
- ↑ 1 2 3 4 5 Полупрямая. МЭС, 1988.
- ↑ 1 2 3 Полупрямая. МА, 1984.
- ↑ 1 2 Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика?, 2015, Глава IV. Проективная геометрия… Приложение…, с. 255.
- ↑ Киселёв М. А. Элементарная геометрия, 1980, 4. Прямая конечная и бесконечная, с. 5.
- ↑ 1 2 3 4 5 Атанасян Л. С. Геометрия. 7—9 классы, 2014, 3. Луч, с. 8.
- ↑ 1 2 3 4 Виленкин Н. Я. Геометрия. Математика. Учебник для 4-го класса средней школы, 1977, 6. Луч, с. 17.
- ↑ 1 2 3 4 5 Гусятников П. Б. Векторная алгебра в примерах и задачах, 1985, Главка 1. Сведения из элементарной геометрии. § 1. Некоторые необходимые определения и обозначения, с. 7.
- ↑ Воднев В. Т. Математический словарь высшей школы: Общая часть, 1984, Числовые промежутки, с. 514.
- ↑ 1 2 Александрова Н. В. История математических терминов, 2008, Луч, с. 94.
- ↑ 1 2 Розенфельд Б. А. Аксиомы и основные понятия геометрии, 1963, 6.3. Аксиомы порядка, с. 36.
- ↑ 1 2 3 Гусятников П. Б. Векторная алгебра в примерах и задачах, 1985, Главка 1. Сведения из элементарной геометрии. § 1. Некоторые необходимые определения и обозначения, с. 8.
Литература
[править | править код]- Александрова Н. В.. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник . — 3-е изд., испр. — М.: ЛКИ, 2008. — 246 с., ил. — ISBN 978-5-382-00839-4.
- Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.. Геометрия. 7—9 классы : учеб. для общеобразоват. организаций / под науч. рук. акад. А. Н. Тихонова. — 2-е изд. — М.: «Просвещение», 2014. — 383 с., ил. — Доп. тираж 50 000 экз. — ISBN 978-5-09-032008-5.
- Виленкин Н. Я., Нешков К. И., Шварцбурд С. И., Чесноков А. С., Семушин А. Д.. Математика. Учебник для 4-го класса средней школы / под ред. А. И. Маркушевича. — 8-е изд. — М.: «Просвещение», 1977. — 240 с., ил. — 1700 тыс. экз.
- Воднев В. Т.[бел.], Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф.. Математический словарь высшей школы: Общая часть / под. ред. проф. Ю. С. Богданова. — Минск: «Высшая школа», 1984. — 527 с., ил. — 41 000 экз.
- Гусятников П. Б., Резниченко С. В.. Векторная алгебра в примерах и задачах: Учеб. пособие для студентов инж.-тех. спец. вузов . — М.: «Высшая школа», 1985. — 232 с., ил. — 50 000 тыс. экз.
- Киселёв М. А. Элементарная геометрия. Книга для учителя . — копия 12-е изд. (1931). — М.: «Просвещение», 1980. — 286 с., ил.
- Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? Элементарный очерк идей и методов = Richard Courant, Herbert Robbins. What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods / пер. с англ. под ред. А. Н. Колмогорова. — 7-е изд., стереотип. — М.: Издательство МЦНМО, 2015. — 564 с., ил. — 2000 экз. — ISBN 978-5-4439-0628-7.
- Полупрямая // Большая советская энциклопедия. (В 30 томах) / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М.: «Советская энциклопедия», 1975. — Т. 20 Плата — проб. — С. 276. — 608 с., ил., 17 л. ил., 4 л. карт. — 630 тыс. экз.
- Полупрямая // Математическая энциклопедия / гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: «Советская энциклопедия», 1984. — Т. 4 Ок—Сло. — Стб. 466. — 1216 стб., ил. — 148 900 экз.
- Полупрямая // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. Ред. кол. С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. — М.: «Советская энциклопедия», 1988. — С. 474. — 847 с., ил. — 148 900 экз.
- Розенфельд Б. А. Аксиомы и основные понятия геометрии // Энциклопедия элементарной математики / гл. ред.: П. С. Александров, А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин; редакторы книги четвёртой: В. Г. Болтянский, И. М. Яглом. — М.: Физматлит, 1963. — Т. 4 Геометрия. — С. 9—48. — 567 с., ил. — 20 000 экз.
Статья является кандидатом в добротные статьи с 1 июля 2025. |