Эта статья является кандидатом в добротные статьи

Луч (геометрия)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Луч , он же

Полупряма́я[комм 1], или открытый луч, — множество всех точек прямой, которые находятся по одну сторону с некоторой точкой на этой прямой[1][2], другими словами, полупрямая — одна из двух частей прямой, на которые делится прямая её произвольной точкой[3]. Эта точка определяет полупрямую[4] и является границей полупрямой[1][2].

В устаревшей трактовке граница полупрямой ей принадлежала, понятия «полупрямая» и «луч» совпадали[5].

Луч, или замкнутый луч, или замкнутая полупрямая, — полупрямая со своей границей[1][3][2]. Эта точка, граница замкнутой полупрямой, называется также началом луча[6][7][8]. Луч выходит из этой точки[6]. Конец у луча (полупрямой) отсутствует[7].

Как правило, луч (полупрямую) обозначают какой-нибудь строчной латинской буквой, например , или двумя прописными латинскими буквами, первая из которых — начало луча, а вторая — произвольная точка на полупрямой, например [6].

Точка на луче

Для любого неотрицательного числа a на заданном луче с началом X существует единственная точка A, находящаяся на расстоянии a от точки X.

Полупрямая и луч — два вида бесконечных промежутков числовой прямой[9].

Строгую терминологию для понятий прямой, луча и отрезка установил Якоб Штейнер в 1833 году[10].

Определение полупрямой и луча

[править | править код]

Полупрямая[комм 1] — множество всех точек прямой, которые находятся по ту же сторону от некоторой точки на этой прямой, что и некоторая заданная точка , отличная от точки , то есть полупрямая — это точка и множество всех точек , отличных от и таких, что не лежит между и [11]. Точка определяет полупрямую[4] и является границей полупрямой[1][2].

Луч, или замкнутый луч, или замкнутая полупрямая, — полупрямая со своей границей[1][3][2]. Эта точка, граница замкнутой полупрямой, называется также началом луча[6][7]. Луч выходит из этой точки[6]. Конец у луча (полупрямой) отсутствует[7].

Теорема 1. Произвольная точка на прямой делит эту прямую на две полупрямых (на два луча). Более формально: на прямой существуют точки и , отличные от точки такие, что разные полупрямые (разные лучи), которым принадлежат эти точки, заполняют с точкой (просто заполняют) всю прямую и имеют своими границами точку (имеют единственную общую точку )[11].

Дополнительные лучи (дополнительные полупрямые) — лучи (полупрямые) на одной прямой, разделённые общим началом (общей границей) : луч, дополнительный к лучу , обозначается [8].

Теорема 2. Две точки и на одной прямой лежат на одном и том же луче (на одной и той же полупрямой) с началом (с границей ) тогда и только тогда, когда не принадлежит интервалу , , и лежат на дополнительных лучах (на полупрямых), когда [8].

Строгую терминологию для понятий прямой, луча и отрезка установил Якоб Штейнер в 1833 году[10].

Сонаправленные полупрямые и лучи

[править | править код]
Лучи и сонаправлены, . Лучи и противоположно направлены,

Сонаправленные лучи (сонаправленные полупрямые) на прямой — два луча (две полупрямые) и , которые лежат на одной прямой и их пересечение — луч (полупрямая); обозначение: . Если их пересечение отрезок (интервал), то они противоположно направлены; обозначение: [8].

Лучи и сонаправлены, . Лучи и противоположно направлены,

Сонаправленные лучи (сонаправленные полупрямые) на плоскости — два луча (две полупрямые) и , которые лежат на параллельных прямых и принадлежат одной полуплоскости с границей, проходящей через начала лучей (через границы полупрямых); обозначение: . Если они принадлежат разным указанным полуплоскостям, то они противоположно направлены; обозначение: [8].

Из сонаправленности лучей (полупрямых) следует противоположная направленность лучей (полупрямых) [12].

Теорема 1. Два луча (две полупрямые) противоположно направлены тогда и только тогда, когда они центрально симметричны относительно некоторой точки</math>[12].

Теорема 2 (транзитивность сонаправленности лучей (полупрямых)). Если два луча (две полупрямые) одновременно сонаправлены третьему лучу (третьей полупрямой), то они сонаправлены друг другу</math>[12].

Примечания

[править | править код]

Комментарии

[править | править код]
  1. 1 2 Имеется перевод на английский язык.
  1. 1 2 3 4 5 Полупрямая. БСЭ 3, 1975.
  2. 1 2 3 4 5 Полупрямая. МЭС, 1988.
  3. 1 2 3 Полупрямая. МА, 1984.
  4. 1 2 Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика?, 2015, Глава IV. Проективная геометрия… Приложение…, с. 255.
  5. Киселёв М. А. Элементарная геометрия, 1980, 4. Прямая конечная и бесконечная, с. 5.
  6. 1 2 3 4 5 Атанасян Л. С. Геометрия. 7—9 классы, 2014, 3. Луч, с. 8.
  7. 1 2 3 4 Виленкин Н. Я. Геометрия. Математика. Учебник для 4-го класса средней школы, 1977, 6. Луч, с. 17.
  8. 1 2 3 4 5 Гусятников П. Б. Векторная алгебра в примерах и задачах, 1985, Главка 1. Сведения из элементарной геометрии. § 1. Некоторые необходимые определения и обозначения, с. 7.
  9. Воднев В. Т. Математический словарь высшей школы: Общая часть, 1984, Числовые промежутки, с. 514.
  10. 1 2 Александрова Н. В. История математических терминов, 2008, Луч, с. 94.
  11. 1 2 Розенфельд Б. А. Аксиомы и основные понятия геометрии, 1963, 6.3. Аксиомы порядка, с. 36.
  12. 1 2 3 Гусятников П. Б. Векторная алгебра в примерах и задачах, 1985, Главка 1. Сведения из элементарной геометрии. § 1. Некоторые необходимые определения и обозначения, с. 8.

Литература

[править | править код]