Магический шестиугольник

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Магический шестиугольник или магический гексагон порядка  — набор чисел, расположенный в центрированной шестиугольной решётке со стороной таким образом, что сумма чисел в каждой строке во всех направлениях равна некоей магической константе

MagicHexagon-Order1.svg MagicHexagon-Order3-a.svg
Порядок n = 1
Порядок n = 3

Обычный магический шестиугольник может быть только порядка (случай тривиален, и здесь речь о нём идти не будет) или и может содержать числа от единицы до Более того, существует только один магический шестиугольник порядка

Магический шестиугольник публиковался много раз как новое явление. Первооткрывателем, возможно, является Ernst von Haselberg в 1887 году. [источник не указан 1197 дней]

Доказательство единственности[править | править код]

Докажем, что существуют магические шестиугольники только порядка и

Вычислим магическую константу С одной стороны, гексагон содержит числа от единицы до (это легко доказать, разложив фигуру на три параллелипипеда). То есть, сумма всех чисел в гексагоне

С другой стороны, есть рядов (например, вертикальных), которые включают в себя все числа в шестиугольнике. Так как сумма чисел в каждом ряду равна то во всём шестиугольнике будет

Приравняв суммы, получим, что

Слева стоит целое число. Значит, справа должно тоже быть целое число.

Значит,  — это целое число, что возможно только при и

QED.

Аномальные магические шестиугольники[править | править код]

Хотя нормальных магических шестиугольников порядка, отличного от не существует, существуют аномальные магические шестиугольники иных порядков.

Аномальными магическими шестиугольниками назовём шестиугольники, образованные по указанным выше правилам, однако, начинающие отсчёт чисел не от единицы, а от иного числа.


         14    33    30    34
      39     6    24    20    22
   37    13    11     8    25    17
21    23     7     9     3    10    38
   36     4     5    12    28    26
      35    16    18    27    15
         19    31    29    32
             41    51    63    45    44
          64    25    40    46    35    34
       23    20    10    56    27    42    66
    55    38    19     9     6    22    48    47
 61    58    18    11     8     7    13    15    53
    52    37    14    16    30    12    24    59
       57    32    29    21    17    39    49
          31    36    62    28    54    33
             43    26    60    65    50
            56    61    70    67    51
         55    45    36    48    53    68
      74    37    26    29    27    39    73
   62    42    33    19    16    31    38    64
58    57    22    20    15    18    23    43    49
   63    47    28    21    17    30    34    65
      71    35    24    32    25    46    72
         59    44    40    41    52    69
            54    60    75    66    50
Порядок 4

Начинается с и кончается
Порядок 5

Начинается с и кончается .
Порядок 5

Начинается с и кончается .

Магический гексагон порядка , начинающийся с и кончающийся () был создан Louis Hoelbling 11 октября 2004 года.

Order 6 Magic Hexagon.gif

Гексагон порядка , начинающийся с 2 и кончающийся 128 () был создан Arsen Zahray 22 марта 2006 года.

MagicHexagon-Order7.svg

Наибольший из известных на данный момент гексагон подярка , начинающийся с −84 и кончающийся 84 () был создан Louis K. Hoelbling 5 февраля 2006 года.

Order 8 Magic hexagon.png

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

  • Baker. J. E. and King, D. R. (2004) «The use of visual schema to find properties of a hexagon» Visual Mathematics, Volume 5, Number 3
  • Baker, J. E. and Baker, A. J. (2004) «The hexagon, nature’s choice» Archimedes, Volume 4