Магнитный поток

Магнитный поток
$\Phi$
Размерность	ML2T−2I−1
Единицы измерения
СИ	Вб
СГС	Мкс
Примечания
Скалярная величина

Магни́тный пото́к — поток вектора магнитной индукции $\mathbf {B}$ через некоторую ориентированную поверхность. Магнитный поток характеризует величину магнитного поля, проходящего через эту поверхность, с учётом её площади и ориентации относительно поля.

Для бесконечно малого элемента поверхности ${\rm {d}}S$ магнитный поток равен

${\rm {d}}\Phi =\mathbf {B} \cdot {\rm {d}}\mathbf {S} =B\,{\rm {d}}S\cos \alpha$,

где $\alpha$ — угол между вектором магнитной индукции $\mathbf {B}$ и вектором нормали к поверхности.

Для поверхности конечных размеров магнитный поток определяется поверхностным интегралом

$\Phi =\iint \limits _{S}\mathbf {B} \cdot {\rm {d}}\mathbf {S}$.

В Международной системе единиц магнитный поток измеряется в веберах (Вб). Магнитный поток входит, в частности, в закон электромагнитной индукции Фарадея, согласно которому изменение магнитного потока связано с возникновением электродвижущей силы.

Определение

Разбиение поверхности на малые участки ${\rm {d}}S$

Изменение вектора нормали к поверхности

Магнитным потоком через бесконечно малый элемент поверхности ${\rm {d}}S$ называется произведение

${\rm {d}}\Phi =B\,{\rm {d}}S\,\cos \alpha =\mathbf {B} \cdot {\rm {d}}\mathbf {S}$,

где $\alpha$ — угол между вектором магнитной индукции $\mathbf {B}$ и единичным вектором нормали $\mathbf {n}$ к участку поверхности, а векторный элемент dS площади поверхности S определяется как

${\rm {d}}\mathbf {S} ={\rm {d}}S\,\mathbf {n}$.

Магнитным потоком через поверхность конечной площади называется интеграл от $d\Phi$ по поверхности:

$\Phi =\int {\rm {d}}\Phi =\iint \limits _{S}\mathbf {B} \cdot {\rm {d}}\mathbf {S}$.

Направление вектора $\mathbf {n}$ в общем случае непостоянно (см. рис.), магнитное поле также может изменяться вдоль поверхности. Точка в произведениях означает скалярное умножение векторов. Интеграл понимается как предел суммы по малым участкам при стремлении их размеров к нулю. Поверхность может быть незамкнутой (как на рис.) или замкнутой.

В случае однородного поля и плоской поверхности магнитный поток рассчитывается как $\Phi =B\,S\,\cos \alpha$.

Единицы измерения

В СИ единицей магнитного потока является вебер (Вб):

$1\ \mathrm {Wb} =1\ \mathrm {V} \cdot \mathrm {s} =1\ \mathrm {T} \cdot \mathrm {m} ^{2}$.

Международное бюро мер и весов определяло вебер как магнитный поток, изменение которого до нуля за одну секунду в одновитковом контуре создаёт электродвижущую силу в один вольт.

Через основные единицы СИ вебер выражается как

$1\ \mathrm {Wb} =1\ \mathrm {kg} \cdot \mathrm {m} ^{2}\cdot \mathrm {s} ^{-2}\cdot \mathrm {A} ^{-1}$,

а размерность магнитного потока имеет вид

$[\Phi ]=\mathrm {M} \mathrm {L} ^{2}\mathrm {T} ^{-2}\mathrm {I} ^{-1}$.

В системе СГС используется максвелл (Мкс). Один максвелл равен $10^{-8}$ вебера, соответственно

$1\ \mathrm {Wb} =10^{8}\ \mathrm {Mx}$.

Некоторые свойства магнитного потока

В соответствии с теоремой Гаусса для магнитной индукции, поток вектора магнитной индукции $\mathbf {B}$ через любую замкнутую поверхность $S$ равен нулю:

$\Phi =\oint \limits _{S}\mathbf {B} \cdot {\text{d}}\mathbf {S} =0$.

Это означает, что в классической электродинамике невозможно существование магнитных зарядов, которые создавали бы магнитное поле подобно тому, как электрические заряды создают электрическое поле.

Связь с векторным потенциалом

Поскольку дивергенция магнитной индукции равна нулю, магнитное поле можно локально представить через векторный потенциал $\mathbf {A}$:

$\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$.

По теореме Стокса магнитный поток через поверхность $S$, ограниченную замкнутым контуром $L$, можно представить как циркуляцию векторного потенциала по этому контуру:

$\Phi =\iint \limits _{S}\mathbf {B} \cdot {\rm {d}}\mathbf {S} =\oint \limits _{L}\mathbf {A} \cdot {\rm {d}}\mathbf {l}$.

Это соотношение связывает магнитный поток не только с локальным значением магнитной индукции на поверхности, но и с векторным потенциалом вдоль её границы. В квантовой механике данная связь приобретает непосредственное физическое значение, в частности в эффекте Ааронова — Бома.

Из теоремы Стокса следует также, что поток векторного поля, представимого как ротор другого поля, через поверхности с одной и той же границей и согласованной ориентацией не зависит от выбора конкретной поверхности. Для магнитного поля это согласуется с равенством $\nabla \cdot \mathbf {B} =0$.

Переменный во времени магнитный поток

По закону электромагнитной индукции Фарадея, если магнитный поток через некоторую поверхность изменяется со временем, то создаётся электродвижущая сила

${\mathcal {E}}=-{\frac {\rm {{d}\Phi }}{\rm {{d}t}}}$

в контуре, на который натянута данная поверхность. Если вдоль такого контура «проложен» электрический провод, то в нём возникнет индукционный ток. Изменение потока со временем может быть вызвано изменением вектора магнитной индукции $\mathbf {B}$ и/или геометрии контура.

Измерение магнитного потока

Прибор для измерения магнитного потока называется флюксметром, или веберметром. Измерение магнитного потока с помощью флюксметра обычно основано на электромагнитной индукции и регистрации изменения потокосцепления измерительной катушки.

Классические методы измерения магнитных величин с использованием флюксметров подробно описаны, в частности, в монографии Национального бюро стандартов США.

Квантование магнитного потока

В физике сверхпроводимости квантом магнитного потока называется величина

$\Phi _{0}={\frac {h}{2e}}$,

где $h$ — постоянная Планка, а $e$ — модуль элементарного заряда.

В СИ

$\Phi _{0}=2{,}067833848\ldots \times 10^{-15}\ \mathrm {Wb}$.

Поскольку в современной СИ постоянная Планка $h$ и элементарный заряд $e$ имеют точно заданные значения, значение $\Phi _{0}$ также является точным.

Множитель $2e$ в знаменателе связан с тем, что в обычном сверхпроводящем состоянии электрический заряд переносится коррелированными парами электронов — куперовскими парами.

Строгое условие квантования в многосвязном сверхпроводнике относится к флюксоиду, включающему как магнитный поток, так и вклад сверхпроводящего тока. В условиях, когда вклад тока мал, магнитный поток через отверстие сверхпроводящего кольца оказывается близок к целому числу квантов $\Phi _{0}$.

Экспериментальное квантование магнитного потока в сверхпроводниках было независимо обнаружено в 1961 году двумя группами. Бэском Дивер и Уильям Фэрбэнк наблюдали квантование потока в полых сверхпроводящих цилиндрах, а Роберт Долл и Мартин Нэбауэр — в сверхпроводящем кольце. Обе работы были опубликованы 15 июля 1961 года.

Наблюдаемая величина кванта соответствовала $h/(2e)$, что стало одним из экспериментальных свидетельств спаривания носителей заряда в сверхпроводящем состоянии.

Величину $h/(2e)$ не следует смешивать с периодом $h/e$, возникающим для одиночных электронов в эффекте Ааронова — Бома. Для обычного большого сверхпроводящего кольца характерный период по потоку равен $h/(2e)$, тогда как для интерференции одиночных электронов — $h/e$.

Литература

• Griffiths D. J. Introduction to Electrodynamics. 4th ed. Pearson, 2013.
• Ling S. J., Moebs W., Sanny J. University Physics. Vol. 2. OpenStax, 2016.
• Sanford R. L., Cooter I. L. Basic Magnetic Quantities and the Measurement of the Magnetic Properties of Materials. National Bureau of Standards Monograph 47, 1962. doi:10.6028/NBS.MONO.47.

См. также

• Уравнения Максвелла
• Электродвигатель постоянного тока
• Потокосцепление
• Индуктивность