Максимальный идеал

Максимальный идеал — собственный идеал коммутативного кольца, не содержащийся ни в каком другом собственном идеале. В некоммутативном случае говорят о левом, правом или двустороннем максимальном идеале кольца или модуля, как не содержащимся в другом собственном левом, правом или двустороннем идеале соответственно.

Множество всех идеалов кольца с единицей индуктивно упорядочено по отношению включения, поэтому (по лемме Цорна) во всяком кольцо с единицей существуют максимальные левый, правый и двусторонний идеалы; более того, для всякого собственного (левого, правого, двустороннего) идеала $I\triangleleft R$ существует максимальный (левый, правый, двусторонний) идеал кольца $R$, который его содержит.

Если элемент $a$ кольца с единицей $R$ необратим, тогда все элементы кольца, кратные ему (слева, справа, двусторонне) образуют собственный (левый, правый, двусторонний) идеал, поэтому каждый необратимый элемент кольца содержится в некотором максимальном идеале. Если же элемент $a$ обратим, всякий идеал, который его содержит, совпадает со всем кольцом, поэтому обратимые элементы не содержатся ни в каком собственном идеале, соответственно и ни в каком максимальном. Если все необратимые элементы кольца $R$ образуют идеал, он является максимальным, и притом единственным — других максимальных идеалов в кольце $R$ нет. Верно и обратное: если в кольце максимальный идеал единствен, он включает все необратимые элементы кольца. В этом случае кольцо называется локальным кольцом.

Характеристическое свойство: идеал $I$ кольца $R$ максимален тогда и только тогда, когда факторкольцо $R/I$ является полем (в нём каждый ненулевой элемент обратим). Из характеристического свойства следует, что всякий максимальный идеал является простым.

Пересечение всех модулярных максимальных правых идеалов кольца образует радикал Джекобсона.

Если кольцо $R$ имеет структуру коммутативной банаховой алгебры над полем комплексных чисел $\mathbb {C}$, факторкольцо по максимальному идеалу $R/I$ изоморфно $\mathbb {C}$; в этом случае идеал $I$ определяет гомоморфизм кольца $R$ в поле $C$, ядром которого является идеал $I$. Для каждого $a$ существует единственное число $\lambda _{a}$, такое что $a-\lambda _{a}e_{R}\in I$ ($e_{R}$ — единица алгебры $R$); соответствие $a\to \lambda _{a}$ и есть тот самый гомоморфизм.

Примеры

В кольце целых чисел $\mathbb {Z}$ максимальными идеалами являются все простые идеалы: если $p$ — простое число, тогда идеал $(p)=pZ$ максимален. Например, чётные числа образуют максимальный идеал, а числа, кратные 4 — образуют идеал, но не максимальный — этот идеал содержится в идеале чётных чисел.

В кольце многочленов $k[X,Y]$, где $k$ — алгебраически замкнутое поле, максимальные идеалы имеют вид $I_{a,b}=\{f\in k[X,Y]\mid f(a,b)=0,a,b\in k$.

Кольцо степенных рядов $k[[X]]$ над полем $k$ — локальное кольцо. Необратимые элементы — те, которые не содержат свободного члена, они образуют идеал — единственный максимальный идеал в этом кольце.

Литература

• Говоров В. Е. Максимальный идеал // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3: Коо — Од. — 1184 стб. : ил. — 150 000 экз.— Перевод на английский: Maximal ideal . Encyclopedia of Mathematics. EMS Press.
• Скорняков Л. А., Шестаков И. П. . Глава III. Кольца и модули // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 291—572. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.
• Фейс К.. Часть I. Введение операций: полугруппа, моноид, группа и категория // Алгебра: кольца, модули и категории / Пер. с англ. под ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Мир, 1977. — Т. 1. — С. 72—399. — 688 с.