Марковский момент времени

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Марковский момент временитеории случайных процессов) — это случайная величина, не зависящая от будущего рассматриваемого случайного процесса.

Дискретный случай[править | править вики-текст]

Пусть дана последовательность случайных величин . Тогда случайная величина называется марковским моментом (времени), если для любого событие зависит только от случайных величин .

Пример[править | править вики-текст]

Пусть — последовательность независимых нормальных случайных величин. Пусть , и

— момент первого достижения процессом уровня . Тогда — марковский момент, ибо тогда и только тогда, когда существует такое, что . Таким образом событие зависит лишь от поведения процесса до момента времени .

Пусть теперь

— момент последнего достижения процессом уровня . Тогда не является марковским моментом, ибо событие предполагает знание поведения процесса в будущем.

Общий случай[править | править вики-текст]

  • Пусть дано вероятностное пространство с фильтрацией , где . Тогда случайная величина принимающая значения в называется марковским моментом относительно данной фильтрации, если .
  • Если дан процесс , и — его естественные σ-алгебры, то говорят, что — марковский момент относительно процесса .
  • Марковский момент называется моментом остановки, если он конечен почти наверное, то есть
.

Свойства[править | править вики-текст]

Если и — марковские моменты, то

  • — марковский момент;
  • — марковский момент;
  • — марковский момент.

Замечание: момент остановки может не иметь конечного математического ожидания.

Пример[править | править вики-текст]

Пусть — стандартный винеровский процесс. Пусть . Определим

.

Тогда — марковский момент, имеющий распределение, задаваемое плотностью вероятности

.

В частности — момент остановки. Однако,

.