Математика. Утрата определённости

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Математика. Утрата определённости
Mathematics: The Loss of Certainty
Автор Морис Клайн
Жанр Научно-популярная литература
Язык оригинала Английский
Оригинал издан 1980
Переводчик Юлий Данилов
Издатель Римис
Выпуск 2007
Страниц 640
Носитель Твердый переплет
ISBN 5-9650-0038-3
Следующая Математика. Поиск истины

«Математика. Утрата определённости» (англ. Mathematics: The Loss of Certainty) — вышедшая в 1980 году книга американского профессора математики Мориса Клайна о развитии математики с древнейших времен до наших дней, в которой автор пытается разъяснить сущность математики и стремится ознакомить с фундаментальными проблемами, которые возникли в математике в конце XIX и в XX веке.

В популярной манере, не требующей от читателя какой-либо математической подготовки, Клайн рассказывает в книге историю развития математики. Автор показывает, как новые результаты и достижения в математике на протяжении веков озадачивали своей новизной и необычностью математиков, и к каким глубоким изменениям в понимании сущности самой математики и её роли в понимании окружающего мира эти результаты приводили (например, открытие неевклидовой геометрии, кватернионов или теоремы Гёделя о неполноте).

Из авторского «Вступления» к книге[1]:

Эта книга о глубоких изменениях, которые претерпели взгляды человека на природу и роль математики. Ныне мы знаем, что математика не обладает теми качествами, которые некогда снискали ей всеобщее уважение и восхищение. Наши предшественники видели в математике непревзойдённый образец строгих рассуждений, свод незыблемых «истин в себе» и истин о законах природы. Главная тема этой книги — рассказ о том, как человек пришёл к осознанию ложности подобных представлений и к современному пониманию природы и роли математики.

Издания[править | править код]

В 1984 году в издательстве «Мир» вышел первый перевод книги на русский язык.

Оглавление[править | править код]

Приводится по переводу, вышедшему в 1984 году[3].

  • Вступление.
  • Введение: основной тезис.
  • I. Становление математических истин. Первые в истории человечества попытки найти рациональное объяснение устройства Вселенной, предпринятые философами Древней Греции, начиная с VI века до н. э.; натурфилософия пифагорейцев и платоников; возникновение птолемеевой геоцентрической системы мира.
  • II. Расцвет математических истин. Мыслители средневековой Европы, верившие в божественное происхождение Вселенной; поиски математических законов мироздания; работы Кеплера, Коперника и гелиоцентрическая система мира, философии Декарта и Галилео Галилея.
  • III. Математизация науки. Возникновение новой философии — математическое описание без физического объяснения явления; работы Ньютона; математические исследования XVII—XVIII веков.
  • IV. Первое ниспровержение: увядание истины. Развитие математики в XIX веке. Возникновение неевклидовых геометрий, новых алгебр (кватернионы, матрицы и т. д.); осознание того, что «математика не содержит внутри себя все законы реального мира».
  • V. Нелогичное развитие логичнейшей из наук. Критический пересмотр логических основ арифметики и алгебры обычных вещественных и комплексных чисел.
  • VI. Нелогичное развитие: в трясине математического анализа. Понимание математиками XVIII века отсутствия логических оснований математического анализа.
  • VII. Нелогичное развитие: серьезные трудности на пороге XIX в. Понимание математиками XVIII века отсутствия строгих дедуктивных рассуждений при доказательствах теорем.
  • VIII. Нелогичное развитие: у врат рая. Начало XIX века, основной упор математиков на логическую совместимость (непротиворечивость) используемых утверждений, а не на их истинность.
  • IX. Изгнание из рая: новый кризис оснований математики. Создание теории множеств Кантором и появление парадокса, связанного с трансфинитным числом множества всех множеств. В конце XIX века начало движения за аксиоматизацию математики.
  • X. Логицизм против интуиционизма. Начало XX века, возникновение новых подходов к математике: «логицизм» и «интуиционизм».
  • XI. Формализм и теоретико-множественные основания математики. «Формализм» (сформировал и возглавил Давид Гильберт), и «теоретико-множественный» подходы (родоначальник Эрнст Цермело).
  • XII. Бедствия. Две фундаментальные проблемы: непротиворечивость математики и полнота аксиоматических систем. Теоремы Гёделя о неполноте и Лёвенгейма — Скулема.
  • XIII. Математика в изоляции. Разделение математики на прикладную и чистую.
  • XIV. Куда идет математика? Рассматривается вопрос о том, что, собственно, надлежит считать математикой, исходя из существующих течений (логицизм, интуиционизм, формализм и теория множеств).
  • XV. Авторитет природы. Описывается ценность и эффективность математики для других наук, несмотря на существующие разногласия.

Критика[править | править код]

В рецензиях на эту книгу ряд специалистов, отдавая должное кругозору автора, обвиняет его в предвзятой эмоциональности, недобросовестности и некомпетентности.

В частности, Реймонд Айюб в The American Mathematical Monthly пишет[4]:

На протяжении веков евклидова геометрия казалась хорошей моделью пространства. Её результаты использовались и до сих пор используются в астрономии и навигации. Когда она подверглась пристальному анализу, обнаружилось, что она имеет слабые стороны, и интересно заметить, что именно этот тщательный формальный анализ привел к обнаружению (кто-то сказал бы, к открытию) неевклидовой геометрии. (Для которой несколько лет спустя была разработана удовлетворительная евклидова модель.) Этот писатель не представляет себе это открытие иначе как, по словам Клайна, «фиаско». Но разве это не великий триумф?.. Профессор Клайн нечестен со своими читателями. Он образованный человек и прекрасно знает, что многие математические идеи, созданные как абстракция, нашли важные применения в реальном мире. Он предпочитает игнорировать этот факт, признанный даже самыми фанатичными противниками математики. И делает это, чтобы поддержать несостоятельную догму. Напомним историю о придворном шуте Людовика XIV: последний написал стихотворение и спросил у шута его мнение: «Ваше величество способно на что угодно. Вашему величеству захотелось написать скверные стишки, Ваше величество преуспело и в этом.» Увы, это должно быть сказано и об этой книге.

Джон Коркоран[en] в Mathematical Reviews[5]:

Общая цель книги — продвинуть в качестве философии математики менталистический прагматизм, который превозносит «прикладную математику» и очерняет «чистую математику» и фундаментальные исследования. Хотя тезис автора частично основан на глубоких основополагающих достижениях логиков двадцатого столетия, основная его философия — близкая родственница различных философий, существовавших в девятнадцатом веке. Более того, как видно из приведенных выше тезисов, авторское понимание логики двадцатого века несерьезно. Он находит удивительным (с. 322, 323), что Гильберт, Гёдель, Чёрч, члены школы Бурбаки и другие «лидеры в работе над основаниями» утверждают, что математические концепции и свойства существуют в каком-то объективном смысле и что они могут быть восприняты человеческим разумом. Его единственный аргумент против платонического реализма этих математиков основан на его собственной неспособности провести различие между (человеческой) ошибкой и (математической) ложью (с. 324)…

Автор, похоже, не понимает, что для того, чтобы иметь знание, нет необходимости быть непогрешимым, и он не признает, что потеря уверенности — это не то же самое, что потеря истины. Философские и основополагающие аспекты авторской идеи вплетены в обширный обзор и интерпретацию истории математики. Можно было бы надеяться, что его аргумент будет в какой-то мере подтверждён убедительным историческим исследованием, но это не так. Два из периодов, наиболее важных с точки зрения автора, интерпретируются противоречиво. (а) В некоторых отрывках автор представляет как очевидную истину, что опыт и наблюдение играли ключевую роль в развитии классической греческой математики (с. 9, 18, 24, 167). Но в других местах он утверждает, что классические греческие математики презирали опыт и наблюдения, основывая свои теории на «самоочевидных истинах» (с. 17, 20, 21, 22, 29, 95, 307). (б) В некоторых отрывках автор изображает начало девятнадцатого века как время широко распространенной уверенности в обоснованности математики (с. 6, 68, 78, 103, 173), но в других местах он описывает этот период как время интеллектуальных потрясений, когда математики испытывали серьезные сомнения относительно основ своей науки (с. 152, 153, 170, 308)…

Можно только сожалеть о философских, основополагающих и исторических недостатках, которые усугубляют главный аргумент и которые, как правило, отвлекают внимание от множества ярких и увлекательных наблюдений и идей, представленных в книге.

Эми Даан-Дальмедико в Revue d'histoire des sciences[6]:

Что касается последних глав, посвящённых основным тенденциям современной математики, они откровенно разочаровывают, скорее поверхностны. Нет анализа современной математики (великий период структурализма, возврат к «конкретному», поток между математикой и физикой, и т. д.).

Скотт Вайнштейн в ETC: A Review of General Semantics[7]:

Книга профессора Клайна — живой рассказ об увлекательной теме. Однако его выводы перегружены и во многих случаях необоснованны. Урок, который нужно извлечь из фундаментальной науки двадцатого века, заключается не в том, что математика находится в жалком состоянии, а в том, насколько глубокие философские вопросы о математике могут быть освещены, если не решены, самой математикой. Теоремы Гёделя действительно указывают пределы того, что мы можем узнать в математике, но они также демонстрируют и великие высоты, к которым человеческий разум может подняться через математическую мысль.

Ян Стюарт в Educational Studies in Mathematics[8]:

Эта книга продолжает традицию, которую мы ожидаем от этого автора, и моя реакция на неё очень похожа на мою реакцию на его предыдущие книги: я думаю, что три четверти её превосходны, а оставшаяся четверть — возмутительная чепуха. И причина в том, что Моррис Клайн действительно не понимает сегодняшнюю математику, хотя у него есть завидное понимание вчерашней...

Моррис Клайн сказал в другом месте, что он считает завершающим достижением математики двадцатого века теорему Гёделя. Я не согласен: теорема Гёделя, удивительная и глубокая, мало повлияла на основное направление реального математического развития. На самом деле она не привела ни к чему новому и сильному, кроме теорем того же рода. Она повлияла на то, что математики думают о том, что они делают; но её влияние на то, что они на самом деле делают, близко к нулю. Сравните это с ростом топологии: пятьдесят лет, по-видимому, интровертированных усилий математиков, в основном игнорирующих прикладную науку, отполированная до совершенства и превращенная в технологию огромная и до сих пор в значительной степени нереализованная энергия, которая в течение последнего десятилетия становится важной практически во всех областях прикладной науки: машиностроение, физика, химия, численный анализ. Топология имеет гораздо больше оснований считаться венцом этого века.

Но Моррис Клайн видит только интроверсию. Ему, похоже, не кажется, что математическая задача может потребовать сосредоточенного созерцания математики, а не проблемы, к которой хотелось бы применить теорию, для получения удовлетворительного решения. Но если я хочу срубить яблоню, и моя пила слишком тупая, никакое созерцание дерева не заострит её...

Есть хорошая математика, есть плохая математика. Есть математики, совершенно не интересующиеся наукой, но строящие инструменты, которые наука найдёт незаменимыми. Есть математики, страстно интересующиеся наукой и строящие инструменты для конкретного использования, чья работа станет такой же устаревшей, как Цеппелин или электронная лампа. Путь от открытия к полезности — это упрямство кролика среди ложных ходов: математика сама по себе имела и будет иметь свое место в схеме вещей. И, в конце концов, изоляция тополога, не знающего физики, не хуже, чем физика, не знающего топологии. Сегодняшняя наука требует специализации от своих адептов: коллективная деятельность учёных в целом — это то, где ссылки подделаны. Если бы Моррис Клайн дал некоторое представление о характере этого процесса, я бы серьезнее отнёсся к его аргументам. Но его утверждение, что математика пришла в упадок, основано на слишком большом невежестве, а его аргументы туманны по сравнению с чудесной, сияющей энергией современной математики. Мне тоже хотелось бы, чтобы математики откровеннее признавали проблемы своей науки; но не заметить, что они делают великолепную работу, даже в этой кажущейся изоляции, это проиграть битву, прежде чем она началась.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Клайн, 1984, с. 9.
  2. Морис Клайн на Elementy.ru.
  3. Клайн, 1984.
  4. Raymond G. Ayoub, The American Mathematical Monthly, Vol. 89, No. 9 (Nov., 1982), p. 715—717.
  5. John Corcoran, Mathematical Reviews, MR584068 (82e:03013).
  6. Amy Dahan-Dalmédico, Revue d'histoire des sciences, Vol. 36, No. 3/4 (JUILLET-DÉCEMBRE 1983), p. 356—358.
  7. Scott Weinstein, ETC: A Review of General Semantics, Vol. 38, No. 4 (Winter 1981), p. 425—430.
  8. Ian Stewart, Educational Studies in Mathematics, Vol. 13, No. 4 (Nov., 1982), p. 446—447.

Ссылки[править | править код]