Математика в Древнем Египте

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Данная статья — часть обзора История математики.

Статья посвящена состоянию и развитию математики в Древнем Египте в период примерно с XXX по III век до н. э.

Древнейшие древнеегипетские математические тексты относятся к началу II тысячелетия до н. э. Математика тогда использовалась в астрономии, мореплавании, землемерии, при строительстве зданий, плотин, каналов и военных укреплений. Денежных расчётов, как и самих денег, в Египте не было. Египтяне писали на папирусе, который сохраняется плохо, и поэтому наши знания о математике Египта существенно меньше, чем о математике Вавилона или Греции. Вероятно, она была развита лучше, чем можно представить, исходя из дошедших до нас документов — известно[1], что греческие математики учились у египтян[2].

Нам ничего не известно о развитии математических знаний в Египте как в более древние, так и в более поздние времена. После воцарения Птолемеев начинается чрезвычайно плодотворный синтез египетской и греческой культур.

Источники[править | править вики-текст]

Часть папируса Ахмеса.
Задачи с 49 по 55.

Основные сохранившиеся источники относятся к периоду Среднего царства, времени расцвета древнеегипетской культуры:

  • Папирус Ахмеса или папирус Ринда — наиболее объёмный манускрипт, содержащий 84 математические задачи. Написан около 1650 г. до н. э.
  • Московский математический папирус (25 задач), около 1850 г. до н. э., 544 × 8 см.
  • Так называемый «кожаный свиток», 25 × 43 см.
  • Папирусы из Лахуна (Кахуна), содержащие ряд фрагментов на математические темы.
  • Берлинский папирус, около 1300 года до н. э.
  • Каирские деревянные таблички (таблички Ахмима).
  • Папирус Рейснера, примерно XIX век до н. э.

От Нового царства до нас дошли несколько фрагментов вычислительного характера.

Авторы всех этих текстов нам неизвестны. Дошедшие до нас экземпляры — это в основном копии, переписанные в период гиксосов. Носители научных знаний тогда именовались писцами и фактически были государственными или храмовыми чиновниками.

Все задачи из папируса Ахмеса (записан ок. 1650 года до н. э.) имеют прикладной характер и связаны с практикой строительства, размежеванием земельных наделов и т. п. Задачи сгруппированы не по методам, а по тематике. По преимуществу это задачи на нахождение площадей треугольника, четырёхугольников и круга, разнообразные действия с целыми числами и аликвотными дробями, пропорциональное деление, нахождение отношений, возведение в разные степени, определение среднего арифметического, арифметические прогрессии, решение уравнений первой и второй степени с одним неизвестным [3].

Полностью отсутствуют какие бы то ни было объяснения или доказательства. Искомый результат либо даётся прямо, либо приводится краткий алгоритм его вычисления.

Такой способ изложения, типичный для науки стран древнего Востока, наводит на мысль о том, что математика там развивалась путём индуктивных обобщений и гениальных догадок, не образующих никакой общей теории. Тем не менее, в папирусе есть целый ряд свидетельств того, что математика в Древнем Египте тех лет имела или, по крайней мере, начинала приобретать теоретический характер. Так, египетские математики умели извлекать корни и возводить в степень, решать уравнения, были знакомы с арифметической и геометрической прогрессией и даже владели зачатками алгебры: при решении уравнений специальный иероглиф «куча» обозначал неизвестное.

Нумерация (запись чисел)[править | править вики-текст]

Иероглифическая запись числа 35736

Древнеегипетская нумерация, то есть запись чисел, была похожа на римскую: поначалу были отдельные значки для 1, 10, 100, … 10 000 000, сочетавшиеся аддитивно (складываясь). Египтяне писали справа налево, и младшие разряды числа записывались первыми, так что в конечном счёте порядок цифр соответствовал нашему. В иератическом письме уже есть отдельные обозначения для цифр 1-9 и сокращённые значки для разных десятков, сотен и тысяч.

Любое число в Древнем Египте можно было записать двумя способами: словами и цифрами. Например, чтобы написать число 30, можно было использовать обычные иероглифы:

Aa15
D36
D58

или то же самое написать цифрами (три символа десятки):

V20 V20 V20
Иероглифы для изображения чисел
1 10 100 1000 10,000 100,000 1,000,000
Z1
V20
V1
M12
D50
I8
C11
Плита с гробницы принцессы Неферетиабет (2590—2565 до н. э., Гиза). Лувр

Умножение египтяне производили с помощью сочетания удвоений и сложений. Деление заключалось в подборе делителя, то есть как действие, обратное умножению.

Особые значки обозначали дроби вида ~\frac{1}{n} и \frac{2}{3}. Однако общего понятия дроби \frac{m}{n} у них не было, и все неканонические дроби представлялись как сумма аликвотных дробей. Типовые разложения были сведены в громоздкие таблицы.

Примеры изображения часто встречающихся дробей
 1/2  1/3  2/3  1/4  1/5
Aa13
r
Z2
D22
r
Z1 Z1 Z1 Z1
r
Z1 Z1 Z1 Z1 Z1

Пример записи дробей из Папируса Ринда[4]

Z2
Z1 Z1
Aa16 r
Z1 Z1 Z1 Z1
Z2
r
10
Z1 Z1 Z1 Z1

5 + 12 + 17 + 114 (= 5 57)

Арифметика[править | править вики-текст]

Знаки сложения и вычитания[править | править вики-текст]

Чтобы показать знаки сложения или вычитания использовался иероглиф

D54
 или
D55

Если направление ног у этого иероглифа совпадало с направлением письма, тогда он означал «сложение», в других случаях он означал «вычитание».[5]

Сложение[править | править вики-текст]

Если при сложении получается число большее десяти, тогда десяток записывается повышающим иероглифом.

Например: 2343 + 1671

M12 M12 V1 V1
V1
V20 V20
V20 V20
Z1
Z1
Z1

+

M12 V1 V1 V1
V1 V1 V1
V20 V20 V20 V20
V20 V20 V20 Z1

Собираем все однотипные иероглифы вместе и получаем:

M12 M12 M12 V1 V1 V1 V1 V1
V1 V1 V1 V1 V20
V20 V20 V20 V20 V20
V20 V20 V20 V20 V20
Z1 Z1
Z1 Z1

Преобразуем:

M12 M12 M12 V1 V1 V1 V1 V1
V1 V1 V1 V1 V1
V20 Z1 Z1
Z1 Z1

Окончательный результат выглядит вот так:

M12 M12
M12 M12
V20 Z1 Z1
Z1 Z1

Умножение[править | править вики-текст]

Древнеегипетское умножение является последовательным методом умножения двух чисел. Чтобы умножать числа, им не нужно было знать таблицы умножения, а достаточно было только уметь раскладывать числа на кратные основания, умножать эти кратные числа и складывать.

Египетский метод предполагает раскладывание наименьшего из двух множителей на кратные числа и последующее их последовательное переумножение на второй множитель (см. пример).

Этот метод можно и сегодня встретить в очень отдаленных регионах.

Разложение[править | править вики-текст]

Египтяне использовали систему разложения наименьшего множителя на кратные числа, сумма которых составляла бы исходное число.

Чтобы правильно подобрать кратное число, нужно было знать следующую таблицу значений:

1 x 2 = 2
2 x 2 = 4
4 x 2 = 8
8 x 2 = 16
16 x 2 = 32

Пример разложения числа 25:

  • Кратный множитель для числа «25» — это 16.
  • 25 — 16 = 9,
  • Кратный множитель для числа «9» — это 8,
  • 9 — 8 = 1,
  • Кратный множитель для числа «1» — это 1,
  • 1 — 1 = 0

Таким образом «25» — это сумма трех слагаемых: 16, 8 и 1.

Пример: умножим «13» на «238»:

1 х 238 = 238
4 х 238 = 952
8 х 238 = 1904

13 х 238 = 3094

Известно, что 13 = 8 + 4 + 1. Каждое из этих слагаемых нужно умножить на 238. Получаем: 13 × 238 = (8 + 4 + 1) × 238 = 8 x 238 + 4 × 238 + 1 × 238 = 3094.

Уравнения[править | править вики-текст]

Иероглифическая запись уравнения ~x\left(\frac{2}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{7}+1\right)=37

Пример задачи из папируса Ахмеса:

Найти число, если известно, что от прибавления к нему 2/3 его и вычитания из результата его трети получается 10.

Геометрия[править | править вики-текст]

В области геометрии египтяне знали точные формулы для площади прямоугольника, треугольника, трапеции и сферы, могли высчитывать объёмы параллелепипеда, цилиндра, конуса и пирамид. Площадь произвольного четырёхугольника со сторонами a, b, c, d вычислялась приближённо как ~S = \frac{{a+c}}{2} \cdot \frac {b+d}{2}; эта грубая формула даёт приемлемую точность, если фигура близка к прямоугольнику.

Египтяне предполагали, что площадь круга S диаметром d равна площади квадрата, сторона которого составляет 8/9 диаметра: ~ S =\left(d - \frac {d} {9} \right)^2 = \left( \frac {8} {9} d \right)^2.

Это правило соответствует значению \pi = 4\cdot\left( \frac {8} {9} \right)^2 ≈ 3,1605, (погрешность менее 1 %)[6].

Ещё одна ошибка содержится в Акмимском папирусе [7]: автор считает, что если радиус круга A есть среднее арифметическое радиусов двух других кругов B и C, то и площадь круга A есть среднее арифметическое площадей кругов B и C.

Вычисление объёма усечённой пирамиды: пусть мы имеем правильную усечённую пирамиду со стороной нижнего основания a, верхнего b и высотой h; тогда объём вычислялся по оригинальной, но точной формуле: ~V = (a^2+ab+b^2)\cdot\frac {h} {3}.

Египетский треугольник[править | править вики-текст]

Египетский треугольник

Египетским треугольником называется прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5.

Объём усечённого конуса[править | править вики-текст]

Реконструкция водяных часов по чертежам из Оксиринха

Древний свиток папируса, найденный в Оксиринхе, свидетельствует, что египтяне могли вычислять объём усечённого конуса. Эти знания ими использовались для сооружения водяных часов. Так, например, известно, что при Аменхотепе III были построены водяные часы в Карнаке.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. Указ. соч., стр. 125: «Фалес путешествовал в Египет и привёз геометрию в Элладу» (из комментария Прокла к Евклиду).
  2. «Согласно большинству мнений, геометрия была впервые открыта в Египте, и возникла при измерении площадей» // Proclus Diadochus. In primum Euclidis Elementorum commentarii. — Leipzig, 1873. — С. 64.
  3. История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М., Наука, 1970, том 1, стр. 21—33.
  4. Gardiner Alan H. Egyptian grammar: being an introduction to the study of hieroglyphs 3rd ed., rev. London: 1957, p. 197.
  5. Cajori Florian A History of Mathematical Notations. — Dover Publications, 1993. — P. pp. 229–230. — ISBN 0486677664.
  6. История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М., Наука, 1970, том 1, стр.30-32.
  7. Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — С. 279.

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]