Математика и изобразительное искусство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Математика в искусстве: резцовая гравюра на меди «Меланхолия» Альбрехта Дюрера, 1514 год. Видны следующие отсылки к математике: циркуль, магический квадрат и усечённый ромбоэдр. Также мы можем наблюдать весы и песочные часы[1]
Этюд. Ваза как тело вращения. Паоло Уччелло, XV век

Математика и искусство связаны друг с другом множеством способов. Математика сама по себе может считаться видом искусства, поскольку в ней обнаруживается своеобразная красота. Следы математического мышления проявляются в музыке, танце, живописи, архитектуре, скульптуре и тканном искусстве. Данная статья посвящена связи математики с изобразительным искусством.

Математика и искусство имеют длительную историю взаимоотношений. Живописцы прибегали к математическим концептам с IV века до н. э., когда греческий скульптор Поликлет Старший написал свой «Канон», где рекомендовал пропорцию 1:√2 для изображения нагого мужчины. Неоднократно высказывались догадки об использовании античными художниками и архитекторами золотого сечения, однако серьёзных подтверждений этому нет. Итальянский математик Лука Пачоли, важная фигура итальянского Возрождения, написал трактат «О божественной пропорции» (итал. De divina proportione), иллюстрированный ксилографиями Леонардо да Винчи. Другой итальянский живописец Пьеро делла Франческа развил идеи Евклида о перспективе, написав трактат «О перспективе в живописи» (итал. De Prospectiva Pingendi). Гравёр Альбрехт Дюрер неоднократно делал математические ссылки в своей «Меланхолии». График XX века М. К. Эшер, консультируемый математиком Гарольдом Коксетером, широко применял образы паркета и гиперболической геометрии. Художники движения «Де Стейл» во главе с Тео ван Дусбургом и Питом Мондрианом явным образом использовали геометрические мотивы. Математика оказала влияние на различные формы вязания, вышивки, ткачества и ковроделия. Для исламского искусства характерны симметрии, присутствующие в персидских и марокканских кладках, перфорированных каменных ширмах Великих Моголов, распространённых сотовых сводах.

Именно математика снабдила художников такими инструментами, как линейная перспектива, анализ симметрий и передала им всевозможные геометрические объекты, например, многогранники или ленту Мёбиуса. Преподавательская практика вдохновила Магнуса Веннинджера на создание разноцветных звёздчатых многогранников. В картинах Рене Магритта и гравюрах Эшера используются рекурсии и логические парадоксы. Компьютерным формам искусства доступна фрактальная графика, в частности, визуализация множества Мандельброта. В некоторых работах иллюстрируются клеточные автоматы. Художник Дэвид Хокни высказал горячо оспариваемую гипотезу о применении его коллегами камеры-люциды ещё со времён Возрождения — она помогала точно изобразить место действия. Архитектор Филип Стедмэн утверждает, что Ян Вермеер задействовал камеру-обскуру.

Связь между математикой и искусством выражается и во многом другом. Предметы искусства подвергаются алгоритмическому анализу с помощью рентгенофлуоресцентной спектроскопии. Было установлено, что традиционный батик со всех уголков Явы имеет фрактальную размерность от 1 до 2. Наконец, искусство дало толчок некоторым математическим исследованиям. Филиппо Брунеллески сформулировал теорию перспективы, делая архитектурные чертежи, а позже Жерар Дезарг развил её, заложив основы проективной геометрии. Пифагорейская идея о Боге-геометре созвучна принципам сакральной геометрии, которая также нашла отражение в искусстве. Характерный пример — «Великий архитектор» Уильяма Блейка.

Истоки: от Древней Греции до Возрождения[править | править код]

Поликлетовы «Канон» и «симметрия»[править | править код]

Римская мраморная копия «Дорифора», оригинал выполнен Поликлетом в бронзе

Поликлет Старший (ок. 450—420 гг. до н. э.) — греческий скульптор аргосской школы, современник Фидия. Его работы — в большинстве изображения атлетов — исполнялись преимущественно в бронзе. Согласно философу и математику Ксенократу, создатель Дорифора и статуи Геры в аргосском Герайоне считался одним из крупнейших скульпторов античности[2]. Хотя его произведения и уступали в известности скульптурам Фидия, они получили широкое признание среди ценителей. В своём трактате «Канон» Поликлет излагает математический подход к ваянию человеческого тела, и в качестве приложения к книге создаёт того самого копьеносца, известного впоследствии под именем Дорифора[3]. По замыслу автора «Канон» должен был установить стандарт идеальных анатомических пропорций в изображении мужской наготы[2].

Все измерения человеческого тела он соотносит с дистальной фалангой мизинца[4]. Чтобы рассчитать длину средних фаланг Поликлет умножает длину дистальной на квадратный корень из двух (√2). Проделав эту операцию ещё раз, он определяет идеальную длину проксимальной фаланги. Затем он умножает длину пальца на √2 и получает длину ладони от основания пальца до локтевой кости. Данный геометрический ряд продолжается, и Поликлет рассчитывает измерения руки, груди, туловища и т. д.[5]

Влияние «Канона» распространилось на скульптуру Древней Греции, Древнего Рима и Возрождения. Ни одна из работ Поликлета не дошла до наших дней, однако существуют математически точные римские мраморные копии. Утрачен был и сам текст трактата, хотя цитаты и комментарии античных авторов сохранились[3]. Некоторые исследователи утверждают, что Поликлет в свою очередь испытал влияние пифагорейства[6]. «Канон» оперирует основными концепциями древнегреческой геометрии: отношением, пропорцией и симметрией. Система «Канона» позволяет описать человеческую фигуру посредством непрерывных геометрических прогрессий[4].

Перспектива и пропорция[править | править код]

Теория перспективы Брунеллески: «Троица» Мазаччо, ок. 1426—1428

В античный период художники не прибегали к линейной перспективе. Размер объектов был обусловлен не их отдалённостью, но тематической важностью. Некоторые живописцы Средневековья использовали обратную перспективу для привлечения внимания к особо значимым фигурам. В 1021 году исламский математик Ибн аль-Хайсам сформулировал теорию оптики, однако к предметам искусства её не применял[7]. Эпоха Возрождения связана с реставрацией древнегреческой и древнеримской культурных традиций. Возродилась и идеи о применении математики для изучения природы и искусства. Художники позднего Средневековья и Ренессанса интересовались математикой по двум причинам. Во-первых, живописцы желали знать, как верно изображать трёхмерные объекты на двумерной поверхности холста. Во-вторых, деятели искусств, как и некоторые философы, верили в математику как истинную суть физического мира; изобразительное искусство как часть этой Вселенной подчинено законам геометрии[8].

Зачатки перспективы наблюдаются у Джотто (1266—1337), который писал отдалённые объекты, алгебраически определяя положение линий в перспективе. В 1415 году архитектор Филиппо Брунеллески вместе с другом Леоном Баттистой Альберти представили во Флоренции геометрический метод создания перспективы. Применяя подобные треугольники Евклида, они высчитывали видимую высоту отдалённых объектов[9][10]. Картины с перспективой самого Брунеллески утрачены, однако «Троица» Мазаччо позволяет увидеть принцип в действии[7][11][12]. Итальянский живописец Паоло Уччелло (1397—1475) был пленён новой техникой. В «Битве при Сан-Романо» он разместил сломанные копья между линиями перспективы[13][14].

Гравюра из трактата Пачоли «О божественной пропорции» (1509), изображающая равносторонний треугольник на лице человека

Творчество Пьеро делла Франческа (ок. 1415—1492) служит примером перехода итальянского Ренессанса к новой идеологии. Будучи крупным математиком и, в частности, геометром, он писал труды по стереометрии и теории перспективы. В их числе «О перспективе в живописи» (итал. De Prospectiva Pingendi), «Трактат о счётах» (итал. Trattato d'Abaco) и «О правильных многогранниках» (итал. De corporibus regularibus)[15][16][17]. Историк Джорджо Вазари в «Жизнеописаниях» называет Пьеро «величайшим геометром своего времени, а, может, и всех времён»[18]. Интерес Пьеро к перспективе виден в его работах «Полиптих святого Антония»[19], «Алтарь святого Августина» и «Бичевание Иисуса Христа». Его геометрические изыскания повлияли на следующие поколения математиков и художников, среди которых были Лука Пачоли и Леонардо да Винчи. Известно, что Пьеро изучал работы древних математиков, в том числе Архимеда[20]. Пьеро обучался коммерческой арифметике в «школе абака»; его трактаты оформлены в том же стиле, что и учебники «школы»[21]. Возможно, Пьеро был знаком с «Книгой Абака» (1202) Фибоначчи. Линейная перспектива постепенно проникала в мир искусства. В трактате «О живописи» (итал. De pictura, 1435) Альберти писал: «лучи света идут от точек на картине к глазу вдоль прямой линии, формируя пирамиду, где глаз есть вершина». Картина, написанная по принципу линейной перспективы есть разрез этой пирамиды[22].

В труде «О перспективе в живописи» Пьеро преобразует свои эмпирические наблюдения о перспективе в математические выражения и доказательства. Следуя Евклиду, он определяет точку как «мельчайший уловимый глазу объект» (итал. una cosa tanto picholina quanto e possible ad ochio comprendere)[8].Пьеро подводит читателя к представлению трёхмерных тел на двумерной поверхности с помощью дедуктивных умозаключений[23].

Современный художник Дэвид Хокни утверждает, что с 1420-х годов его коллеги применяли камеру-люциду, что привело к резкому повышению точности и реалистичности картин. Он считает, что этим приспособлением пользовались и Энгр, и ван Эйк, и Караваджо[24]. Мнение экспертов по этому вопросу расходится[25][26]. Архитектор Филип Стедмэн озвучил ещё одну спорную гипотезу[27] об использовании Вермеером камеры-обскуры[28].

В 1509 году Лука (ок. 1447—1517) опубликовал трактат «О божественной пропорции», посвящённый математическому и художественному аспектам пропорции, в том числе и человеческого лица. Леонардо да Винчи (1452—1519), учившийся у Пачоли в 1490-х годах, иллюстрировал его текст ксилографиями правильных многогранников. Каркасные изображения многогранников, сделанные да Винчи, — первые дошедшие до нас иллюстрации такого характера[29]. Одним из первых он изобразил многогранники (в их числе ромбокубооктаэдр), построенные на гранях других фигур — так Леонардо демонстрировал перспективу. Сам трактат посвящён описанию перспективы в работах Пьеро делла Франческа, Мелоццо да Форли и Марко Пальмеццано[30]. Да Винчи изучил «Сумму» Пачоли, скопировав оттуда таблицы с пропорциями[31]. И «Джоконда», и «Тайная вечеря» выстроены по принципу линейной перспективы с исчезающей точкой, которая придаёт картине видимую глубину[32]. «Тайная вечеря» использует пропорции 12:6:4:3 — они же присутствуют в «Афинской школе» Рафаэля. Изображённый на ней Пифагор держит таблицу идеальных пропорций, которым пифагорейцы придавали сакральный смысл[33][34]. Витрувианский человек Леонардо отражает идеи римского архитектора Витрувия; две наложенные мужские фигуры вписаны и в круг, и в квадрат[35].

Уже в XV веке живописцы, интересовавшиеся визуальными искажениями, применяли криволинейную перспективу. На «Портрете четы Арнольфини» (1343) Яна ван Эйка есть выпуклое зеркало, отражающее фигуры героев[36]. «Автопортрет в выпуклом зеркале» (ок. 1523—1524) Пармиджанино изображает практически неискажённое лицо художника и сильно изогнутые задний план и руку, расположенную на краю[37].

Трёхмерные объекты можно вполне убедительно изобразить, не прибегая к перспективе. Наклонные проекции, в том числе кавалерская перспектива (использовалась французскими баталистами в XVIII веке для написания фортификаций), непрерывно и повсеместно наблюдается у китайских художников с I—II по XVIII века. К китайцам эта традиция пришла из Индии, туда же — из Древнего Рима. Наклонная проекция наблюдается в японском искусстве, например, на картинах Тории Киёнаги в стиле укиё-э[38].

Золотое сечение[править | править код]

Отношение основания к гипотенузе (b: a) пирамиды Хеопса может равняться 1:φ (треугольник Кеплера), 3:5 (треугольник со сторонами 3—4—5) или 1:4/π
Предполагаемые пропорции ланского собора Нотр-Дам

Золотое сечение, приблизительно равное 1,618, было известно ещё Евклиду[39]. Многие современники утверждают[40][41][42][43], что оно применялось в искусстве и архитектуре Древнего Египта, Древней Греции, однако достоверных подтверждений этому нет[44]. Возникновение этого предположения может быть вызвано путаницей между золотым сечением и «золотой серединой», которой греки называли «отсутствие излишка во всяком из направлений»[44]. Пирамидологи с XIX века говорят о применении золотого сечения при проектировании пирамид, аргументируя позицию сомнительными математическими доводами[44][45][46]. Скорее всего пирамиды были построены либо на основе треугольника со сторонами 3-4-5 (угол наклона — 53°8'), который упомянут в папирусе Ахмеса, либо на основе треугольника с косинусом π/4 (угол наклона — 51°50')[47]. Фасад и пол Парфенона, построенного в V веке до н. э. в Афинах, якобы спроектированы на основе золотого сечения[48][49][50]. Это утверждение также опровергается реальными измерениями[44]. Считается, что золотое сечение применялось и при проектировании Великой мечети Кайруана в Тунисе[51]. Тем не менее, данная величина не обнаруживается в оригинальном проекте мечети[52]. Историк архитектуры Фредерик Макоди Лунд в 1919 году заявлял, что Шартрский собор (XII век), ланский (1157—1205) и парижский собор Нотр-Дам (1160) спроектированы в соответствии с принципом золотого сечения[53]. Некоторые исследователи утверждают, что до выхода труда Пачоли в 1509 году сечение не было известно ни художникам, ни архитекторам[54]. Например, высота и ширина фасада ланского собора Нотр-Дам имеют отношение 8/5 или 1.6, но не 1,618. Подобная пропорция является одним из отношений Фибоначчи, которые трудно отличить от золотого сечения, поскольку они сходятся к 1,618[55]. Золотое сечение наблюдается у последователей Пачоли, в том числе в «Джоконде» Леонардо[56].

Плоскостные симметрии[править | править код]

Плоскостные симметрии на протяжении нескольких тысяч лет наблюдаются в ковроткачестве, мощении, тканном искусстве и создании решётчатых объектов[57][58][59][60].

Многие традиционные ковры, будь то ворсистые или килимы (плоскотканые) поделены на центральный медальон и бордюрную часть. Обе части могут содержать симметричные элементы, при этом симметрия ковров ручной работы часто нарушается авторскими деталями, вариацией узора и цвета[57]. Мотивы анатолийских килимов нередко симметричны сами по себе. Общий рисунок подразумевает наличие полос, в том числе с перемежающимися мотивами, и подобий шестиугольных форм. Центральная часть может характеризоваться группой обоев pmm, в то время как обрамление — группами бордюров pm11, pmm2 или pma2. Килимы из Турции и Центральной Азии, как правило, имеют не менее трёх бордюров, описываемых разными группами. Создатели ковров определённо стремились к симметрии, хотя и не были знакомы с её математикой[57]. Математик и теоретик архитектуры Никос Салингарос полагает, что эстетический эффект коврам придают специальные математические техники, близкие к теориям архитектора Кристофера Александера. В качестве примера он приводит конийские ковры XVII века с двумя медальонами. Эти техники подразумевают построение противопоставляемых пар объектов; цветовое противопоставление; геометрическую дифференциацию областей с помощью дополняющих фигур или координацией острых углов; введение сложных фигур (начиная с отдельных узлов); построение малых и больших симметрических фигур; воспроизведение фигур в большем масштабе (отношение каждого нового уровня к предыдущему составляет 2,7). Салингарос утверждает, что любой удачный ковёр соответствует по крайней мере девяти условиям из десяти. Более того, он считает возможным облечь приведённые показатели в форму эстетической метрики[61].

Персидская мозаика гирих

Искусные индийские решётки джали, создаваемые из мрамора, украшают дворцы и гробницы[58]. Китайские решётки, всегда наделённые некой симметрией, — часто зеркальной, двойной зеркальной или вращательной — представлены в 14 из 17 групп обоев. Некоторые обладают центральным медальоном, некоторые — краем, принадлежащем группе бордюров[62]. Многие китайские решётки были математически проанализированы Дэниелом С. Даем. Ему удалось установить, что центром данного искусства является провинция Сычуань[63].

Симметрии распространены в таких тканных искусствах, как стёжка[59], вязание[64], вязание крючком[65], вышивка[66][67], вышивка крестом и ткачество[68]. Примечательно, что симметрия на ткани может быть чисто декоративной или символизировать статус обладателя[69]. Вращательная симметрия имеет место в циркулярных объектах. Многие купола украшены симметричными узорами внутри и снаружи как, например, мечеть Шейха Лютфуллы (1619) в Исфахане[70]. Рефлексивные и вращательные симметрии характерны для вышитых и кружевных элементов скатертей и настольных ковриков, созданных при помощи катушек или техникой фриволите. Эти объекты также подвергаются математическому изучению[71].

Исламское искусство демонстрирует симметрии во многих формах, в особенности это свойственно персидской мозаике гирих. Она создаётся пятью плиточными формами: правильным десятиугольником, правильным пятиугольником, вытянутым десятиугольником, ромбом и фигурой, напоминающей галстук-бабочку. Все стороны этих фигур равны, все их углы кратны 36° (π/5 радиан), что даёт пяти- и десятикратные симметрии. Плитка украшена переплетающимся орнаментом (собственно гирих), который обычно более заметен, чем края плитки. В 2007 году физики Питер Лу и Пол Стейнхардт отметили сходство гирих с квазикристаллическими плитками Пенроуза[72]. Геометрически выверенная плитка зулляйдж является характерным элементом марокканской архитектуры[60]. Сотовые саоды или мукарнасы трёхмерны, однако проектировались они — путём рисования геометрических ячеек — в двух измерениях[73].

Многогранники[править | править код]

Первая печатная иллюстрация ромбокубооктаэдра. Леонардо да Винчи, «О божественной пропорции», 1509

Правильные многогранники — один из распространённых сюжетов западного искусства. Малый звёздчатый додекаэдр, например, встречается в мраморной мозаике Собора Святого Марка в Венеции; авторство приписывают Паоло Уччелло[13]. Правильные многогранники да Винчи иллюстрируют труд «О божественной пропорции» Луки Пачоли[13]. Стеклянный ромбокубооктаэдр встречается на портрете Пачоли (1495), написанном Якопо де Барбари[13]. Усечённый многогранник и многие другие связанные с математикой объекты присутствуют на гравюре Дюрера «Меланхолия»[13]. «Тайная вечеря» Сальвадора Дали изображает Христа и его учеников внутри гигантского додекаэдра.

Альбрехт Дюрер (1471—1528), гравёр и график немецкого Ренессанса, внёс свой вклад в теорию, выпустив в 1525 году книгу «Руководство к измерению» (нем. Underweysung der Messung). Труд посвящён линейной перспективе, геометрии в архитектуре, правильным многогранникам и многоугольникам. Вероятно, Дюрер вдохновился работами Пачоли и Пьеро делла Франческа во время путешествий по Италии[74]. Образцы перспективы в «Руководстве к измерению» не до конца проработаны и неточны, однако многогранники Дюрер осветил в полной мере. Именно в этом тексте впервые упомянута развёртка многогранника, то есть разворачивание (например, бумажного) многогранника в плоскую фигуру, которую можно напечатать[75]. Ещё один влиятельный труд Дюрера — «Четыре книги о человеческих пропорциях» (нем. Vier Bücher von Menschlicher Proportion, 1528)[76].

Известная гравюра Дюрера «Меланхолия» изображает опечаленного мыслителя, сидящего у усечённого треугольного трапецоэдра и магического квадрата[1]. Два этих объекта и гравюра в целом представляют для современных исследователей наибольший во всём творчестве Дюрера интерес[1][77][78]. Петер-Клаус Шустер выпустил о «Меланхолии» двухтомную книгу[79], в то время как Эрвин Панофский дискутирует о произведении в своей монографии[1][80]. «Гиперкубическое тело» Сальвадора Дали содержит трёхмерную развёртку гиперкуба — четырёхмерного правильного многогранника[81].

Фрактальные размерности[править | править код]

Яванский батик из Суракарты, узор паранг клитик. Подобные узоры имеют фрактальную размерность от 1.2 до 1.5

Традиционная индонезийская роспись на ткани батик использует в качестве резерва воск. Её мотивы могут соответствовать элементам окружающего мира (например, растениям) или же быть абстрактными, даже хаотическими. Резерв может наноситься неточно, крекинг (растрескивание) воска усиливает эффект случайности. Роспись имеет фрактальную размерность от 1 до 2, в зависимости от региона происхождения. Например, батик из Чиребона имеет размерность 1,1, размерность батика из Джокьякарты и Суракарты (центральная Ява) — от 1,2 до 1,5; ласемский (северная Ява) и тасикмалайский (западная Ява) обладают размерностью от 1,5 до 1,7[82].

Работы современного художника Джексона Поллока в капельной технике дриппинг также примечательны своей фрактальной размерностью: Картина «Номер 14» (англ. Number 14, 1948) имеет размерность 1,45. Его последующие работы характеризуются более высокой размерностью, что свидетельствует о лучшей проработке закономерностей. Одна из последних картин Поллока «Синие столбы» (англ. Blue Poles) имеет размерность 1,72, а её написание заняло шесть месяцев[83].

Сложные взаимосвязи[править | править код]

Астроном Галилео Галилей в трактате «Пробирных дел мастер» писал, что вселенная написана на языке математики, и что символы этого языка есть треугольники, круги и иные геометрические фигуры[84]. По мнению Галилея, жаждущие познать природу художники должны в первую очередь понимать математику. Математики же пытались анализировать изобразительное искусство через призму геометрии и рациональности (в математическом смысле слова). Математик Фелипе Кукер предположил, что эта наука и в особенности геометрия служат сводом правил для «закономерного художественного созидания» (англ. "rule-driven artistic creation"), хотя и не единственным[85]. Некоторые особо примечательные образцы этой сложной взаимосвязи описаны ниже[86].

Математик Г. Х. Харди определил набор критериев, соответствие которым свидетельствует о математической красоте

Математика как искусство[править | править код]

Математик Джерри П. Кинг пишет о математике как о искусстве, утверждая, что ключами к ней являются красота и элегантность, а вовсе не скучный формализм. Кинг считает, что именно красота мотивирует исследователей в этой области[87]. Он цитирует эссе «Апология математика» (1940) другого математика Г. Х. Харди, где тот признаётся в любви к двум античным теоремам: доказательству бесконечности простых чисел Евклида и доказательству иррациональности квадратного корня из двух. Последнюю Кинг оценивает по выработанным Харди критериям красоты в математике: серьёзности, глубине, общности, неожиданности, неизбежности и экономии (курсив Кинга) и заключает, что доказательство «эстетически привлекательно»[88]. Венгерский математик Пал Эрдёш также говорит о красоте математики, не всякое измерение которой можно выразить словами: «Почему числа красивы? Равнозначно было бы спросить, почему красива Девятая симфония Бетховена. Если вы этого не видите, никто не сможет вам объяснить. Я ‘’знаю’’, что числа красивы.»[89][90]

Математический инструментарий искусства[править | править код]

В контексте изобразительных искусств математика даёт творцу множество инструментов наподобие линейной перспективы, описанной Бруком Тейлором и Иоганном Ламбертом, или начертательной геометрии, наблюдаемой ещё у Альбрехта Дюрера и Гаспара Монжа, а ныне применяемой для программного моделирования трёхмерных объектов[91]. Начиная со Средневековья (Пачоли) и Возрождения (да Винчи и Дюрер) художники применяли достижения математики в творческих целях[92][93]. За вычетом зачатков перспективы в древнегреческой архитектуре её широкое использование началось в XIII веке, среди пионеров был Джотто. Правило исчезающей точки сформулировал Брунеллески в 1413 году[7]. Его открытие вдохновило не только да Винчи и Дюрера, но и Исаака Ньютона, исследовавшего оптический спектр, Гёте, написавшего книгу «К теории цвета», а затем и новые поколения художников, среди которых были Филипп Отто Рунге, Уильям Тёрнер[94], прерафаэлиты и Василий Кандинский[95][96]. Также художники исследуют симметрии, присутствующие в композиции[97]. Математический инструментарий может применяться учёными, изучающими предметы искусства, или самими мастерами как в случае графика М. К. Эшера (при участии Гарольда Коксетера) или архитектора Фрэнка Гери. Последний утверждает, что системы автоматизированного проектирования дали ему совершенно новые пути самовыражения[98].

Художник Ричард Райт считает, что визуальные модели математических объектов служат либо для симуляции некого явления, либо являются предметами компьютерного искусства. Райт иллюстрирует свою позицию изображением множества Мандельброта, созданным клеточным автоматом и компьютерным рендером; ссылаясь на тест Тьюринга, он рассуждает, могут ли продукты алгоритмов считаться искусством[99]. Тот же подход наблюдается и у Сашо Калайдзевского, который рассматривает визуализируемые математические объекты: паркет, фракталы, фигуры гиперболической геометрии[100].

Одним из пионеров компьютерного искусства был Десмонд Пол Генри, создавший «Рисовальную машину 1». Аналоговый вычислительный механизм на базе компьютера бомбового прицела был представлен публике в 1962 году[101][102]. Машина могла создавать сложные, абстрактные, асимметричные, криволинейные, но повторяющиеся рисунки[101][103]. Хамид Надери Йеганех создаёт фигуры рыб, птиц и иных объектов реального мира, используя семейства кривых[104][105][106]. Современные художники, в том числе Микаэль Х. Кристенсен, работают в жанре алгоритмического искусства, создавая сценарии для программного обеспечения. Ведомая художником система применяет математические операции к заданному массиву данных[107][108].

От математики к искусству[править | править код]

Протокубизм: при написании «Авиньонских девиц» (1907) Пабло Пикассо использовал проекцию четвёртого измерения, чтобы показать и фас, и профиль одновременно[109]

Известно, что книгу «Наука и гипотеза» (1902) математика и физика Анри Пуанкаре читали многие кубисты, в том числе Пабло Пикассо и Жан Метценже[110][111]. Пуанкаре видел в евклидовой геометрии не объективную истину, но всего лишь одну из многих возможных геометрических конфигураций. Возможное существование четвёртого измерения вдохновляло художников на вызов классической перспективе ренессанса, и они обратились к неевклидовым геометриям[112][113][114]. Одной из предпосылок кубизма стала идея о математическом — в цвете и форме — выражении сюжета. С кубизма начинается история абстракционизма[115]. В 1910 году Метценже писал: «[Пикассо] создаёт свободную, подвижную перспективу, из которой тот изобретательный математик Морис Принсе вывел целую геометрию»[116]. В своих мемуарах Метценже вспоминал:

«Морис Принсе часто навещал нас;… он осмыслял математику словно художник, словно эстет он взывал к n-мерным континуумам. Ему нравилось прививать художникам интерес к новым взглядам на пространство, которые открыл Шлегель и некоторые другие. В этом он преуспевал.»[117]

Моделирование математических форм в исследовательских или преподавательских целях неизбежно ведёт к появлению причудливых или красивых фигур. Их влияние испытали дадаисты Ман Рэй[118], Марсель Дюшан[119] и Макс Эрнст[120][121], а также Хироси Сугимото[122].

Ман Рэй фотографировал модели геометрических фигур в парижском Институте им. Пуанкаре. Одна из известнейших работ того цикла — «Математический объект» (фр. Objet mathematique, 1934). Художник указывает, что «Объект» представляет собой поверхности Эннепера с постоянной отрицательной кривизной, полученные из псевдосферы. Математическая основа была крайне важна для него; математика позволяла ему опровергать «абстрактный» характер «Объекта». Ман Рэй утверждал, что запечатлённая фигура столь же реальна, сколь и писсуар, который Дюшан сделал предметом искусства. И всё же он признавал: «[формула поверхности Эннепера] ничего не значит для меня, но сами формы были так же разнообразны и подлинны, как и те, что есть в природе». Фотографии Из Института Пуанкаре он использовал в произведениях по мотивам пьес Шекспира, например, при создании «Антония и Клеопатры» (1934)[123]. Обозреватель Джонатан Китс в заметке для ForbesLife утверждает, что Ман Рэй фотографировал «эллиптические параболоиды и конические точки в той же чувственной манере, в которой изображал Кики де Монпарнас»[124], и что он «остроумно переосмыслил холодные расчёты математиков с тем, чтобы раскрыть топологию желания»[125][126]. Скульпторы XX века, в числе которых Генри Мур, Барбара Хепуорт и Наум Габо тоже находили вдохновение в математических моделях[127]. О своём творении «Струнные мать и дитя» (англ. Stringed Mother and Child, 1938) Мур говорил: «Несомненно источником моих струнных фигур был Музей науки;… я был очарован математическими моделями, которые увидел там;… меня взволновало не научное исследование этих моделей, но возможность смотреть сквозь струны как птица смотрит из клетки и способность видеть одну форму внутри другой.»[128][129]

«Арифметическая композиция» (1929—1930) Тео ван Дусбурга
Четырёхмерное пространство как предпосылка кубизма: иллюстрация к «Элементарному трактату о геометрии в четырёхмерном пространстве» (1903) Эспри Жуффре[130]

Художники Тео ван Дусбург и Пит Мондриан основали движение «Де Стейл», которое должно было «создать визуальный словарь элементарных геометрических форм, понятный каждому и применимый к любой дисциплине»[131][132][133]. Многие их произведения выглядят как разлинованная плоскость с прямоугольниками и треугольниками, иногда — кругами. Участники «Де Стейл» писали картины, создавали мебель и интерьеры, занимались архитектурой[132]. Когда движение распалось, ван Дусбург организовал авангардную группу «Ар конкре» (фр. Art concret, «конкретное искусство»). О собственной «Арифметической композиции» (1929—1930) ван Дусбург писал: «структура, которую можно контролировать, определённая поверхность без случайных элементов или личной прихоти»[134], при этом «не лишённая духа, не лишённая универсального и не… пустая, поскольку всё соответствует внутреннему ритму»[135]. Критик Гладис Фабр видит в «Композиции» две прогрессии: нарастание чёрных квадратов и меняющийся фон[136].

Математика паркетов, многогранников, форм пространства и самовоспроизведения дала графику М. К. Эшеру (1898—1972) пожизненный запас сюжетов[137][138]. На примере мозаик Альгамбры Эшер показал: искусство можно создавать с помощью простых фигур. Моща плоскость, он использовал неправильные многоугольники, отражения, скользящую симметрию и параллельный перенос. Создавая противоречия между перспективной проекцией и свойствами трёхмерного пространства, он изображал невозможные в реальном мире, но эстетичные конструкции. Литография «Спускаясь и поднимаясь» (1960) показывает нам лестницу невозможной конструкции, открытие которой связано с именами Лайонела (отца) и Роджера (сына) Пенроузов[139][140][141].

Созданные Эшером замощения достаточно многочисленны, и идеи некоторых родились в беседах с математиком Гарольдом Коксетером о гиперболической геометрии[142]. Более всего Эшера интересовали пять многогранников: тетраэдры, кубы, октаэдры, додекаэдры и икосаэдры. Фигуры неоднократно появлялись в его творчестве, но особенно они заметны в «Порядке и хаосе» (1950) и «Четырёх правильных многогранниках» (1961)[143]. Эти звёздчатые образования покоятся внутри другой фигуры, что ещё сильнее искажает угол обзора и восприятие многогранников[144].

Зрительная сложность паркетов и многогранников легла в основу многих художественных произведений. Стюарт Коффин создаёт головоломки-многогранники из редких сортов дерева, Джордж У. Харт занимается теорией многогранников и лепит их, Магнус Веннинджер создаёт модели звёздчатых образований[145].

Искажённые перспективы анаморфоза известны в живописи с XVI века. В 1553 году Ганс Гольбейн (Младший) написал «Послов», разместив на переднем плане сильно искривлённый череп. Впоследствии анаморфные техники пополнили арсенал и Эшера, и других графиков[146].

В современном искусстве заметны топологические сюжеты. Скульптор Джон Робинсон (1935—2007) известен работами «Гордиев узел» (англ. Gordian Knot) и «Узы дружбы» (англ. Bands of Friendship) — иллюстрациями теории узлов, выполненными в полированной бронзе[8]. Некоторые другие скульптуры Робинсона посвящены топологии торов. «Сотворение» (англ. Genesis) построено по принципу колец Борромео: три окружности попарно не сцеплены, но расцепить их можно только уничтожением всей структуры[147]. Хеламан Фергюсон ваяет поверхности и иные топологические объекты[148]. Его работа «Восьмеричный путь» (англ. The Eightfold Way) создана на основе проективной специальной линейной группы PSL(2, 7), конечной группы с 168 элементами[149][150]. Скульптор Батшеба Гроссман также известен воплощением математических структур[151][152].

Такие объекты, как многообразие Лоренца и гиперболическая плоскость воссоздаются мастерами тканного искусства, в том числе вязания крючком[153][154][155]. В 1949 году ткач Ада Диц выпустила монографию «Алгебраические выражения в ручной вязке» (англ. Algebraic Expressions in Handwoven Textiles), где предложила новые ткацкие схемы на базе расширения многомерных многочленов[156]. Применив правило 90 для клеточного автомата, математик Джеффри Ч. П. Миллер создавал гобелены, изображавшие деревья и абстрактные узоры из треугольников[157]; клеточные автоматы используются и для непосредственного создания цифрового визуального искусства[158]. «Вязальщики-математики» (англ. mathekniticians)[159][160] Пэт Эшфорт и Стив Пламмер вяжут для студентов модели гексафлексагона и других фигур. Примечательно, что связать губку Менгера им не удалось — её сделали из пластика[161][162]. Проект Эшфорта и Пламмера по вязанию шерстяных платков (англ. mathghans)[163] способствовал включению теории вязания в учебные планы, предлагаемые математическими и технологическими программами Великобритании[164][165].


Иллюстрирование математики[править | править код]

Лицевая сторона «Триптиха Стефанески» (1320) Джотто. Сюжет рекурсивен
Деталь кардинала Стефанески держит «Триптих» в руках

Моделирование — далеко не единственный способ иллюстрации математических концепций. «Триптих Стефанески» (1320) Джотто содержит рекурсию. Центральная панель лицевой части (слева внизу) показывает нам самого кардинала Стефанески; преклонив колено, он предлагает малую копию «Триптиха» в качестве дара[166]. Метафизические картины Джорджо де Кирико, в том числе «Большой метафизический интерьер» (1917) затрагивает тематику уровней представления в искусстве; де Кирико пишет картины внутри картин[167].

В искусстве можно запечатлеть логические парадоксы. Сюрреалист Рене Магритт создавал свои картины как семиотические шутки, подвергая сомнению отношения между поверхностями. На картине «Условия человеческого существования» (1933) изображён мольберт с холстом; пейзаж поддерживает вид из окна, рамки которого обозначены шторами. Эшер в той же манере построил сюжет «Картинной галереи» (1956): искажённый вид города, расположенная в городе галерея, сама картина как экспонат. Рекурсия продолжается ad infinitum[168]. Магритт искажал реальность и другими способами. «Мысленная арифметика» (1931) изображает поселение, где дома соседствуют с шарами и кубоидами, будто бы детские игрушки выросли до гигантских размеров[169]. Журналист издания The Guardian заметил, что «жутковатый план игрушечного города»[170] стал пророчеством, провозвестив узурпацию «старых удобных форм»[171] модернистами. При этом Магритт играет со склонностью человека к поиску закономерностей в природе[172].

Последняя картина Сальвадора Дали «Хвост ласточки» (1983) заключает цикл работ, вдохновлённых теорией катастроф Рене Тома[173]. Испанский художник и скульптор Пабло Паласуэло (1916—2007) разработал стиль, названный им «геометрией жизни и всей природы». Произведения Паласуэло представляют собой тщательно структурированные и раскрашенные множества простых фигур. В качестве средства самовыражения он использует геометрические преобразования[8].


Художники не всегда воспринимают геометрию буквально. В 1979 году вышла книга Дугласа Хофштадтера «Гёдель, Эшер, Бах», где он размышляет о закономерностях человеческого мышления, в том числе связи искусства с математикой:

«Разница между рисунками Эшера и неэвклидовой геометрией заключается в том, что в последней возможно найти значимые интерпретации для неопределяемых понятий таким образом, что система становится понятной, в то время как в первой конечный результат несовместим с нашей концепцией мира, как бы долго мы не рассматривали картину.»[174]

Схема явного парадокса, наблюдаемого в «Картинной галерее» (1956) Эшера. Дуглас Хофштадтер рассуждает о парадоксе в книге «Гёдель, Эшер, Бах» (1979)

Хофштадтер упоминает парадокс «Картинной галереи» Эшера, характеризуя её как «странную петлю или запутанную иерархию»[175] уровней реальности. Сам же художник в этой петле не представлен; ни его существование, ни факт авторства не являются парадоксами[176]. Вакуум в центре картины привлёк внимание математиков Барта де Смита и Хендрика Ленстры. Они предполагают наличие эффекта Дросте: картина самовоспроизводится в повёрнутом и сжатом виде. Если эффект Дросте действительно присутствует, рекурсия ещё более сложна, чем заключил Хофштадтер[177][178].

Анализ истории искусств[править | править код]

Алгоритмический анализ произведений искусства, например, рентгенофлуоресцентный, позволяет обнаруживать слои, впоследствии закрашенные автором, восстанавливать исходный вид потрескавшихся или потемневших изображений, отличать копии от оригинала и отличать руку мастера от ученической[179][180].

Техника «дриппинг» Джексона Поллока[181] примечательная фрактальной размерностью[182]. Возможно, контролируемый хаос[183] Поллока родился под влиянием Макса Эрнста. Вращая ведро краски с перфорированным дном над холстом, Эрнст создавал фигуры Лиссажу[184]. Учёный-информатик Нил Доджсон попытался выяснить, можно ли математически характеризовать полосатые полотна Бриджет Райли. Анализ расстояний между полосами «дал определённый результат», в отдельных случаях подтвердилась гипотеза о глобальной энтропии, однако автокорреляция отсутствовала, поскольку Райли варьировала закономерности. Локальная энтропия сработала лучше, что соответствовало тезисам критика Роберта Куделки о творчестве художницы[185].

В 1933 году американский математик Джордж Д. Биркгоф представил публике работу «Эстетическая мера» — количественную теорию эстетического качества живописи. Биркгоф исключил из рассмотрения вопросы коннотации, сфокусировавшись на геометрических свойствах («элементах порядка») картины как многоугольника. Аддитивная метрика принимает значения от −3 до 7 и объединяет пять характеристик:

  • имеется ли вертикальная ось симметрии;
  • имеется ли оптическое равновесие;
  • каково число симметрий вращения;
  • насколько фигура подобна обоям;
  • имеются ли неблагоприятные свойства наподобие чрезмерной близости вершин.

Вторая метрика, отражает количество линий, содержащих по крайней мере одну сторону многоугольника. Биркгоф определяет меру эстетичности объекта как отношение . Отношение можно интерпретировать как баланс между удовольствием, которое доставляет созерцание объекта, и сложностью построения. Теорию Биркгофа критиковали с разных точек зрения, упрекая его в намерении описать красоту формулой. Математик утверждал, что такого намерения не имел[186].

Пища для исследований[править | править код]

Известны случаи, когда искусство служило стимулом для развития математики. Сформулировав теорию перспективы в архитектуре и живописи, Брунеллески открыл целую серию исследований, в которую вошли работы Брука Тейлора и Иоганна Ламберта по математическим основаниям перспективы[187]. На этом фундаменте Жерара Дезарга и Жан-Виктор Понселе воздвигли теорию проективной геометрии[188].

Математические методы позволили Томоко Фусэ развить японское искусство оригами. Используя модули, она собирает из конгруэнтных кусков бумаги — например, квадратов — многогранники п паркеты[189]. В 1893 году Т. Сундара Рао опубликовал работу «Геометрические упражнения в сворачивании бумаги», где давал наглядные доказательства различных геометрических результатов[190]. К важнейшим открытиям в области математики оригами относят теорему Маэкавы[191], теорему Кавасаки[192] и правила Фудзиты[193].

От иллюзии к оптическому искусству[править | править код]

Спираль Фрейзера, открытая в 1908 году

Оптические иллюзии, в их числе спираль Фрейзера, демонстрируют ограниченность восприятия человеком визуальных образов. Историк искусств Эрнст Гомбрих называл создаваемые ими эффекты «непонятными трюками»[195]. Чёрные и белые полосы, на первый взгляд образующие спираль, в действительности являются концентрическими кругами. В середине XX века возник стиль оптического искусства, эксплуатировавшего иллюзии для придания картинам динамики, создания эффекта мерцания или вибрации. Известными представителями направления, в силу известной аналогии также известного под названием «оп-арт», являются Бриджет Райли, Спирос Хоремис[196], Виктор Вазарели[197].

Сакральная геометрия[править | править код]

Идея о Боге-геометре и сакральном характере геометрии всего сущего известна со времён Древней Греции и прослеживается в западноевропейской культуре. Плутарх указывает, что таких взглядов придерживался Платон: «Бог геометризует беспрестанно» (Convivialium disputationum, liber 8,2). Взгляды Платона коренятся в пифагорейском понятии о музыкальной гармонии, где ноты разнесены в идеальных пропорциях, продиктованных длинами струн лиры. По аналогии с музыкой, правильные многогранники («платоновы тела») устанавливают пропорции окружающего мира и, как следствие, сюжетов в искусстве[198][199]. Известная средневековая иллюстрация Бога, создающего Вселенную с помощью циркуля, отсылает к библейскому стиху: «Когда Он уготовлял небеса, я была там. Когда Он проводил круговую черту по лицу бездны» (Книга притчей Соломоновых, 8:27)[200]. В 1596 году математик и астроном Иоганн Кеплер представил модель Солнечной системы — множество вложенных платоновых тел, олицетворяющую относительные размеры планетарных орбит[200]. Картина «Великий архитектор» Уильяма Блейка, а также его монотип «Ньютон», где великий учёный изображён в образе нагого геометра, демонстрируют контраст между математически совершенным духовным миром и несовершенным физическим[201]. Таким же образом можно интерпретировать «Гиперкубическое тело» Дали, где Христос распят на трёхмерной развёртке четырёхмерного гиперкуба. По мнению художника, божественному взору доступно на измерение больше, чем человеческому[81]. Последнюю трапезу Христа с учениками Дали представил происходящей внутри додекаэдра исполинских размеров[202],

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. 1 2 3 4 Dürer's polyhedron: 5 theories that explain Melencolia's crazy cube. The Guardian (3 декабря 2014). Дата обращения: 27 октября 2015.
  2. 1 2 Stewart, Andrew. Polykleitos of Argos," One Hundred Greek Sculptors: Their Careers and Extant Works (англ.) // Journal of Hellenic Studies : journal. — 1978. — November (vol. 98). — P. 122—131. — doi:10.2307/630196. — JSTOR 630196.
  3. 1 2 McCague, Hugh. Pythagoreans and Sculptors: The Canon of Polykleitos (англ.) // Rosicrucian Digest : journal. — 2009. — Vol. 1. — P. 23.
  4. 1 2 Tobin, Richard. The Canon of Polykleitos (англ.) // American Journal of Archaeology (англ.) : journal. — 1975. — October (vol. 79, no. 4). — P. 307—321. — doi:10.2307/503064.
  5. Lawton, Arthur J. Pattern, Tradition and Innovation in Vernacular Architecture (англ.) // Past : journal. — 2013. — Vol. 36.. — «The base figure is a square the length and width of the distal phalange of the little finger. Its diagonals rotated to one side transform the square to a 1 : √2 root rectangle. In Figure 5 this rectangular figure marks the width and length of the adjacent medial phalange. Rotating the medial diagonal proportions the proximal phalange and similarly from there to the wrist, from wrist to elbow and from elbow to shoulder top. Each new step advances the diagonal's pivot point.».
  6. Raven, J. E. Polyclitus and Pythagoreanism // Classical Quarterly (англ.). — 1951. — Т. 1, № 3—4. — С. 147—. — doi:10.1017/s0009838800004122.
  7. 1 2 3 Mathematics and art – perspective. University of St Andrews (январь 2003). Дата обращения: 1 сентября 2015.
  8. 1 2 3 4 The Visual Mind II / Emmer, Michelle. — MIT Press, 2005. — ISBN 978-0-262-05048-7.
  9. Vasari, Giorgio (англ.). Lives of the Most Excellent Painters, Sculptors, and Architects. — Torrentino, 1550. — С. Chapter on Brunelleschi.
  10. Alberti, Leon Battista; Spencer, John R. On Painting. — Yale University Press, 1956.
  11. Field, J. V. The Invention of Infinity: Mathematics and Art in the Renaissance (англ.). — Oxford University Press, 1997. — ISBN 978-0-19-852394-9.
  12. Art History Resources. Дата обращения: 5 сентября 2015.
  13. 1 2 3 4 5 Hart, George W. Polyhedra in Art. Дата обращения: 24 июня 2015.
  14. Cunningham, Lawrence; Reich, John; Fichner-Rathus, Lois. Culture and Values: A Survey of the Western Humanities (англ.). — Cengage Learning (англ.), 2014. — P. 375. — ISBN 978-1-285-44932-6.. — «which illustrate Uccello's fascination with perspective. The jousting combatants engage on a battlefield littered with broken lances that have fallen in a near-grid pattern and are aimed toward a vanishing point somewhere in the distance.».
  15. della Francesca, Piero. De Prospectiva Pingendi / G. Nicco Fasola. — Florence, 1942.
  16. della Francesca, Piero. Trattato d'Abaco / G. Arrighi. — Pisa, 1970.
  17. della Francesca, Piero. L'opera "De corporibus regularibus" di Pietro Franceschi detto della Francesca usurpata da Fra Luca Pacioli (итал.) / G. Mancini. — 1916.
  18. Vasari, G. Le Opere, volume 2 / G. Milanesi. — 1878. — С. 490.
  19. Zuffi, Stefano. Piero della Francesca. — L'Unità – Mondadori Arte, 1991. — С. 53.
  20. Heath, T. L. The Thirteen Books of Euclid's Elements. — Cambridge University Press, 1908. — С. 97.
  21. Grendler, P. What Piero Learned in School: Fifteenth-Century Vernacular Education (англ.) / M.A. Lavin. — Piero della Francesca and His Legacy. — University Press of New England (англ.), 1995. — P. 161—176.
  22. Alberti, Leon Battista; Grayson, Cecil (trans.). On Painting / Kemp, Martin. — Penguin Classics, 1991.
  23. Peterson, Mark. The Geometry of Piero della Francesca. — «In Book I, after some elementary constructions to introduce the idea of the apparent size of an object being actually its angle subtended at the eye, and referring to Euclid's Elements Books I and VI, and Euclid's Optics, he turns, in Proposition 13, to the representation of a square lying flat on the ground in front of the viewer. What should the artist actually draw? After this, objects are constructed in the square (tilings, for example, to represent a tiled floor), and corresponding objects are constructed in perspective; in Book II prisms are erected over these planar objects, to represent houses, columns, etc.; but the basis of the method is the original square, from which everything else follows.».
  24. Hockney, David. Secret Knowledge: Rediscovering the Lost Techniques of the Old Masters (англ.). — Thames and Hudson (англ.), 2006. — ISBN 978-0-500-28638-8.
  25. Hockney's 'Lucid' Bomb At the Art Establishment. The Washington Post. Дата обращения: 4 сентября 2015.
  26. What the eye didn't see. The Guardian (7 октября 2001). Дата обращения: 4 сентября 2015.
  27. An Interview with Philip Steadman. Essential Vermeer (25 апреля 2003). Дата обращения: 5 сентября 2015.
  28. Steadman, Philip. Vermeer's Camera: Uncovering the Truth Behind the Masterpieces (англ.). — Oxford, 2002. — ISBN 978-0-19-280302-3.
  29. Hart, George. Luca Pacioli's Polyhedra. Дата обращения: 13 августа 2009.
  30. Palmezzano's Renaissance:From shadows, painter emerges. New York Times (27 января 2006). Дата обращения: 22 июля 2015.
  31. Calter, Paul. Geometry and Art Unit 1 (недоступная ссылка). Dartmouth College. Дата обращения: 13 августа 2009. Архивировано 21 августа 2009 года.
  32. Brizio, Anna Maria. Leonardo the Artist. — McGraw-Hill Education, 1980.
  33. Ladwein, Michael. Leonardo Da Vinci, the Last Supper: A Cosmic Drama and an Act of Redemption (англ.). — Temple Lodge Publishing, 2006. — P. 61—62. — ISBN 978-1-902636-75-7.
  34. Turner, Richard A. Inventing Leonardo. — Alfred A. Knopf (англ.), 1992.
  35. Wolchover, Natalie Did Leonardo da Vinci copy his famous 'Vitruvian Man'?. NBC News (31 января 2012). Дата обращения: 27 октября 2015.
  36. Criminisi, A.; Kempz, M.; Kang, S. B. Reflections of Reality in Jan van Eyck and Robert Campin (англ.) // Historical Methods : journal. — 2004. — Vol. 37, no. 3. — P. 109—121. — doi:10.3200/hmts.37.3.109-122.
  37. Cucker, Felix. Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics (англ.). — Cambridge University Press, 2013. — P. 299–300, 306–307. — ISBN 978-0-521-72876-8.
  38. Cucker, Felix. Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics (англ.). — Cambridge University Press, 2013. — P. 269—278. — ISBN 978-0-521-72876-8.
  39. Euclid's Elements, Book II, Proposition 11. Clark University (1996). Дата обращения: 24 сентября 2015.
  40. Seghers, M. J.; Longacre, J. J.; Destefano, G. A. The Golden Proportion and Beauty (англ.) // Plastic and Reconstructive Surgery (англ.) : journal. — 1964. — Vol. 34, no. 4. — P. 382—386. — doi:10.1097/00006534-196410000-00007.
  41. Mainzer, Klaus. Symmetries of Nature: A Handbook for Philosophy of Nature and Science (англ.). — Walter de Gruyter, 1996. — P. 118.
  42. Mathematical properties in ancient theatres and amphitheatres (недоступная ссылка). Дата обращения: 29 января 2014. Архивировано 15 июля 2017 года.
  43. Architecture: Ellipse?. The-Colosseum.net. Дата обращения: 29 января 2014.
  44. 1 2 3 4 Markowsky, George. Misconceptions about the Golden Ratio (англ.) // The College Mathematics Journal (англ.) : magazine. — 1992. — January (vol. 23, no. 1). — P. 2—19. — doi:10.2307/2686193. Архивировано 8 апреля 2008 года.
  45. Taseos, Socrates G. Back in Time 3104 B.C. to the Great Pyramid (англ.). — SOC Publishers, 1990.
  46. Отношение наклонной высоты к половине длины основания составляет 1,619, что менее чем на 1 % отличается от золотого сечения (1,618). Подразумевается использование треугольника Кеплера (угол наклона — 51°49').
  47. Gazale, Midhat. Gnomon: From Pharaohs to Fractals. — Princeton University Press, 1999. — ISBN 978-0-691-00514-0.
  48. Huntley, H.E. The Divine Proportion. — Dover, 1970.
  49. Hemenway, Priya. Divine Proportion: Phi In Art, Nature, and Science (англ.). — Sterling, 2005. — P. 96.
  50. Mathematics of the Parthenon. Mathematics Magazine. Дата обращения: 24 июня 2015.
  51. Boussora, Kenza; Mazouz, Said. The Use of the Golden Section in the Great Mosque of Kairouan (англ.) // Nexus Network Journal : journal. — Vol. 6, no. 1. — P. 7—16. — doi:10.1007/s00004-004-0002-y. Архивировано 4 октября 2008 года.. — «The geometric technique of construction of the golden section seems to have determined the major decisions of the spatial organisation. The golden section appears repeatedly in some part of the building measurements. It is found in the overall proportion of the plan and in the dimensioning of the prayer space, the court and the minaret. The existence of the golden section in some parts of Kairouan mosque indicates that the elements designed and generated with this principle may have been realised at the same period.». Архивированная копия (недоступная ссылка). Дата обращения: 4 июня 2017. Архивировано 4 октября 2008 года.
  52. Brinkworth, Peter; Scott, Paul. The Place of Mathematics // Australian Mathematics Teacher. — 2001. — Т. 57, № 3. — С. 2.
  53. Chanfón Olmos, Carlos. Curso sobre Proporción. Procedimientos reguladors en construcción (исп.). — Convenio de intercambio Unam–Uady. México – Mérica, 1991.
  54. Livio, Mario (англ.). The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number (англ.). — Broadway Books (англ.), 2002.
  55. Smith, Norman A. F. Cathedral Studies: Engineering or History // Transactions of the Newcomen Society (англ.). — 2001. — Т. 73. — С. 95—137. — doi:10.1179/tns.2001.005. Архивировано 11 декабря 2015 года. Архивированная копия (недоступная ссылка). Дата обращения: 4 июня 2017. Архивировано 11 декабря 2015 года.
  56. Why golden ratio pleases the eye: US academic says he knows art secret. The Guardian (28 декабря 2009). Дата обращения: 27 октября 2015.
  57. 1 2 3 Cucker, Felix. Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics (англ.). — Cambridge University Press, 2013. — P. 89—102. — ISBN 978-0-521-72876-8.
  58. 1 2 Lerner, Martin. The flame and the lotus : Indian and Southeast Asian art from the Kronos collections (англ.). — Exhibition Catalogue. — Metropolitan Museum of Art, 1984.
  59. 1 2 Ellison, Elaine; Venters, Diana. Mathematical Quilts: No Sewing Required. — Key Curriculum, 1999.
  60. 1 2 Castera, Jean Marc; Peuriot, Francoise. Arabesques. Decorative Art in Morocco. — Art Creation Realisation, 1999. — ISBN 978-2-86770-124-5.
  61. Salingaros, Nikos. The 'life' of a carpet: an application of the Alexander rules (англ.) // 8th International Conference on Oriental Carpets : journal. — Philadelphia, 1996. — November. Reprinted in Oriental Carpet and Textile Studies V / Eiland, M.; Pinner, M.. — Danville, CA: Conference on Oriental Carpets, 1998.
  62. Cucker, Felix. Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics (англ.). — Cambridge University Press, 2013. — P. 103—106. — ISBN 978-0-521-72876-8.
  63. Dye, Daniel S. Chinese Lattice Designs. — Dover, 1974. — С. 30—39.
  64. belcastro, sarah-marie. Adventures in Mathematical Knitting (англ.) // American Scientist (англ.) : magazine. — 2013. — Vol. 101, no. 2. — P. 124. — doi:10.1511/2013.101.124.
  65. Taimina, Daina. Crocheting Adventures with Hyperbolic Planes (англ.). — A K Peters (англ.), 2009. — ISBN 1-56881-452-6.
  66. Snook, Barbara. Florentine Embroidery. Scribner, Second edition 1967.
  67. Williams, Elsa S. Bargello: Florentine Canvas Work. Van Nostrand Reinhold, 1967.
  68. Grünbaum, Branko (англ.); Shephard, Geoffrey C. Satins and Twills: An Introduction to the Geometry of Fabrics (англ.) // Mathematics Magazine : magazine. — 1980. — May (vol. 53, no. 3). — P. 139—161. — doi:10.2307/2690105. — JSTOR 2690105.
  69. 1 2 Gamwell, Lynn. Mathematics and Art: A Cultural History. — Princeton University Press, 2015. — С. 423. — ISBN 978-0-691-16528-8.
  70. Baker, Patricia L.; Smith, Hilary. Iran. — 3. — Bradt Travel Guides (англ.), 2009. — С. 107. — ISBN 1-84162-289-3.
  71. Irvine, Veronika; Ruskey, Frank. Developing a Mathematical Model for Bobbin Lace (англ.) // Journal of Mathematics and the Arts (англ.) : journal. — 2014. — Vol. 8, no. 3—4. — P. 95—110. — doi:10.1080/17513472.2014.982938. — arXiv:1406.1532.
  72. Lu, Peter J.; Steinhardt, Paul J. Decagonal and Quasi-crystalline Tilings in Medieval Islamic Architecture (англ.) // Science : journal. — 2007. — Vol. 315, no. 5815. — P. 1106—1110. — doi:10.1126/science.1135491. — Bibcode2007Sci...315.1106L. — PMID 17322056.
  73. van den Hoeven, Saskia, van der Veen, Maartje. Muqarnas-Mathematics in Islamic Arts. Дата обращения: 6 мая 2018.
  74. Panofsky, E. The Life and Art of Albrecht Durer. — Princeton, 1955.
  75. Hart, George W. Dürer's Polyhedra. Дата обращения: 13 августа 2009.
  76. Dürer, Albrecht. Hierinn sind begriffen vier Bucher von menschlicher Proportion (нем.). — Nurenberg: Archive.org, 1528.
  77. Schreiber, P. A New Hypothesis on Durer's Enigmatic Polyhedron in His Copper Engraving 'Melencolia I' (англ.) // Historia Mathematica (англ.) : journal. — 1999. — Vol. 26. — P. 369—377. — doi:10.1006/hmat.1999.2245.
  78. Dodgson, Campbell. Albrecht Dürer. — London: Medici Society, 1926. — С. 94.
  79. Schuster, Peter-Klaus. Melencolia I: Dürers Denkbild. — Berlin: Gebr. Mann Verlag, 1991. — С. 17—83.
  80. Panofsky, Erwin (англ.); Klibansky, Raymond (англ.); Saxl, Fritz (англ.). Saturn and melancholy. — Basic Books, 1964.
  81. 1 2 Crucifixion (Corpus Hypercubus). Metropolitan Museum of Art. Дата обращения: 5 сентября 2015.
  82. Lukman, Muhamad; Hariadi, Yun; Destiarmand, Achmad Haldani. Batik Fractal : Traditional Art to Modern Complexity (англ.) // Proceeding Generative Art X, Milan, Italy : journal. — 2007.
  83. Pollock's Fractals (ноябрь 2001). Дата обращения 26 сентября 2016.
  84. Galilei, Galileo (англ.). The Assayer. — 1623., as translated in Drake, Stillman (англ.). Discoveries and Opinions of Galileo. — Doubleday, 1957. — С. 237—238. — ISBN 0-385-09239-3.
  85. Cucker, Felix. Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics (англ.). — Cambridge University Press, 2013. — P. 381. — ISBN 978-0-521-72876-8.
  86. Cucker, Felix. Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics (англ.). — Cambridge University Press, 2013. — P. 10. — ISBN 978-0-521-72876-8.
  87. King, Jerry P. The Art of Mathematics. — Fawcett Columbine, 1992. — С. 8—9. — ISBN 0-449-90835-6.
  88. King, Jerry P. The Art of Mathematics. — Fawcett Columbine, 1992. — С. 135—139. — ISBN 0-449-90835-6.
  89. Devlin, Keith. Do Mathematicians Have Different Brains? // The Math Gene: How Mathematical Thinking Evolved And Why Numbers Are Like Gossip (англ.). — Basic Books, 2000. — P. 140. — ISBN 978-0-465-01619-8.
  90. англ. "Why are numbers beautiful? It's like asking why is Beethoven's Ninth Symphony beautiful. If you don't see why, someone can't tell you. I know numbers are beautiful."
  91. Mathematics and Art. 2. Mathematical tools for artists. American Mathematical Society. Дата обращения: 1 сентября 2015.
  92. Mathematics and Art. American Mathematical Society. Дата обращения: 1 сентября 2015.
  93. Math and Art: The Good, the Bad, and the Pretty. Mathematical Association of America. Дата обращения: 2 сентября 2015.
  94. How to spin the colour wheel, by Turner, Malevich and more. Tate Gallery (1 июля 2014). Дата обращения: 4 сентября 2015.
  95. Kemp, Martin. The Science of Art: Optical Themes in Western Art from Brunelleschi to Seurat (англ.). — Yale University Press, 1992. — ISBN 978-968-867-185-6.
  96. Gage, John. Color and Culture: Practice and Meaning from Antiquity to Abstraction (англ.). — University of California Press, 1999. — P. 207. — ISBN 978-0-520-22225-0.
  97. Mathematics and Art. 3. Symmetry. American Mathematical Society. Дата обращения: 1 сентября 2015.
  98. Mathematics and Art. 4. Mathematical artists and artist mathematicians. American Mathematical Society. Дата обращения: 1 сентября 2015.
  99. Wright, Richard. Some Issues in the Development of Computer Art as a Mathematical Art Form (англ.) // Leonardo (англ.) : journal. — 1988. — Vol. 1, no. Electronic Art, supplemental issue. — P. 103—110. — doi:10.2307/1557919. — JSTOR 1557919.
  100. Kalajdzievski, Sasho. Math and Art: An Introduction to Visual Mathematics (англ.). — Chapman and Hall, 2008. — ISBN 978-1-58488-913-7.
  101. 1 2 Computer art at the V&A. Victoria and Albert Museum. Дата обращения: 22 сентября 2015.
  102. Computer Does Drawings: Thousands of lines in each (17 сентября 1962). in Beddard, 2015.
  103. O'Hanrahan, Elaine. Drawing Machines: The machine produced drawings of Dr. D. P. Henry in relation to conceptual and technological developments in machine-generated art (UK 1960–1968). Unpublished MPhil. Thesis (англ.). — John Moores University, Liverpool, 2005. in Beddard, 2015.
  104. Bellos, Alex. Catch of the day: mathematician nets weird, complex fish, The Guardian (24 февраля 2015). Дата обращения 25 сентября 2015.
  105. "A Bird in Flight (2016)," by Hamid Naderi Yeganeh. American Mathematical Society (23 марта 2016). Дата обращения: 6 апреля 2017.
  106. Chung, Stephy. Next da Vinci? Math genius using formulas to create fantastical works of art, CNN (18 сентября 2015).
  107. Generative Artists. CMUEMS (2013). Дата обращения: 27 октября 2015. This includes a link to Hvidtfeldts Syntopia.
  108. The Algorists. Дата обращения: 27 октября 2015.
  109. Cucker, Felix. Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics (англ.). — Cambridge University Press, 2013. — P. 315—317. — ISBN 978-0-521-72876-8.
  110. Miller, Arthur I. Einstein, Picasso: Space, Time, and the Beauty That Causes Havoc (англ.). — New York: Basic Books, 2001. — P. 171. — ISBN 0-465-01860-2.
  111. Miller, Arthur I. Insights of Genius: Imagery and Creativity in Science and Art (англ.). — Springer, 2012. — ISBN 1-4612-2388-1.
  112. Henderson, Linda D. The Fourth Dimension and Non-Euclidean geometry in Modern Art (англ.). — Princeton University Press, 1983.
  113. Antliff, Mark; Leighten, Patricia Dee. Cubism and Culture. — Thames & Hudson (англ.), 2001. (недоступная ссылка)
  114. Everdell, William R. (англ.). The First Moderns: Profiles in the Origins of Twentieth-Century Thought (англ.). — University of Chicago Press, 1997. — P. 312. — ISBN 0-226-22480-5.
  115. Green, Christopher. Cubism and its Enemies, Modern Movements and Reaction in French Art, 1916–1928 (англ.). — Yale University Press, 1987. — P. 13—47.
  116. Metzinger, Jean (англ.). Note sur la peinture // Pan. — С. 60. in Miller. Einstein, Picasso. — Basic Books, 2001. — С. 167.
  117. Metzinger, Jean (англ.). Le cubisme était né. — Éditions Présence, 1972. — С. 43—44. in Ferry, Luc (англ.). Homo Aestheticus: The Invention of Taste in the Democratic Age (англ.). — University of Chicago Press, 1993. — P. 215. — ISBN 0-226-24459-8.
  118. Man Ray–Human Equations A Journey from Mathematics to Shakespeare. February 7 – May 10, 2015. Phillips Collection. Дата обращения: 5 сентября 2015.
  119. Adcock, Craig. Duchamp's Eroticism: A Mathematical Analysis // Iowa Research Online. — 1987. — Т. 16, № 1. — С. 149—167.
  120. Elder, R. Bruce. DADA, Surrealism, and the Cinematic Effect (англ.). — Wilfrid Laurier University Press (англ.), 2013. — P. 602. — ISBN 978-1-55458-641-7.
  121. Tubbs, Robert. Mathematics in Twentieth-Century Literature and Art: Content, Form, Meaning (англ.). — JHU Press (англ.), 2014. — P. 118. — ISBN 978-1-4214-1402-7.
  122. Hiroshi Sugimoto Conceptual Forms and Mathematical Models February 7 – May 10, 2015. Phillips Collection. Дата обращения: 5 сентября 2015.
  123. Tubbs, Robert. Mathematics in 20th-Century Literature and Art (англ.). — Johns Hopkins, 2014. — P. 8—10. — ISBN 978-1-4214-1380-8.
  124. англ. "the elliptic paraboloids and conic points in the same sensual light as his pictures of Kiki de Montparnasse"
  125. англ. "ingeniously repurposes the cool calculations of mathematics to reveal the topology of desire"
  126. See How Man Ray Made Elliptic Paraboloids Erotic At This Phillips Collection Photography Exhibit. Forbes (13 февраля 2015). Дата обращения: 10 сентября 2015.
  127. Gamwell, Lynn. Mathematics and Art: A Cultural History. — Princeton University Press, 2015. — С. 311—312. — ISBN 978-0-691-16528-8.
  128. Henry Moore: Text on His Sculpture / Hedgecoe, John. — Henry Spencer Moore. — Simon and Schuster, 1968. — С. 105.
  129. англ. "Undoubtedly the source of my stringed figures was the Science Museum ... I was fascinated by the mathematical models I saw there ... It wasn't the scientific study of these models but the ability to look through the strings as with a bird cage and to see one form within another which excited me."
  130. Jouffret, Esprit. Traité élémentaire de géométrie à quatre dimensions et introduction à la géométrie à n dimensions (фр.). — Paris: Gauthier-Villars, 1903.
  131. англ. "establish a visual vocabulary comprised[sic] of elementary geometrical forms comprehensible by all and adaptable to any discipline"
  132. 1 2 De Stijl. Tate Glossary. The Tate. Дата обращения: 11 сентября 2015.
  133. Curl, James Stevens. A Dictionary of Architecture and Landscape Architecture (англ.). — Second. — Oxford University Press, 2006. — ISBN 0-19-860678-8.
  134. англ. "a structure that can be controlled, a definite surface without chance elements or individual caprice"
  135. англ. "not lacking in spirit, not lacking the universal and not ... empty as there is everything which fits the internal rhythm"
  136. Tubbs, Robert. Mathematics in Twentieth-Century Literature and Art: Content, Form, Meaning (англ.). — JHU Press (англ.), 2014. — P. 44—47. — ISBN 978-1-4214-1402-7.
  137. Tour: M.C. Escher – Life and Work (недоступная ссылка). NGA. Дата обращения: 13 августа 2009. Архивировано 3 августа 2009 года.
  138. MC Escher. Mathacademy.com (1 ноября 2007). Дата обращения: 13 августа 2009.
  139. Penrose, L.S.; Penrose, R. Impossible objects: A special type of visual illusion (англ.) // British Journal of Psychology (англ.) : journal. — 1958. — Vol. 49. — P. 31—33. — doi:10.1111/j.2044-8295.1958.tb00634.x. — PMID 13536303.
  140. Kirousis, Lefteris M.; Papadimitriou, Christos H. (англ.). The complexity of recognizing polyhedral scenes // 26th Annual Symposium on Foundations of Computer Science (англ.) (FOCS 1985). — 1985. — С. 175—185. — doi:10.1109/sfcs.1985.59.
  141. Cooper, Martin. Line Drawing Interpretation. — Springer-Verlag, 2008. — С. 217—230. — ISBN 978-1-84800-229-6. — doi:10.1007/978-1-84800-229-6_9.
  142. Roberts, Siobhan. 'Coxetering' with M.C. Escher. — King of Infinite Space: Donald Coxeter, the Man Who Saved Geometry. — Walker, 2006. — С. Chapter 11.
  143. Escher, M.C. The World of MC Escher. — Random House, 1988.
  144. Escher, M.C.; Vermeulen, M.W.; Ford, K. Escher on Escher: Exploring the Infinite. — HN Abrams, 1989.
  145. Mathematics and Art. 5. Polyhedra, tilings, and dissections. American Mathematical Society. Дата обращения: 1 сентября 2015.
  146. Marcolli, Matilde (англ.). The notion of Space in Mathematics through the lens of Modern Art (англ.). — Century Books, 2016. — P. 23—26.
  147. John Robinson. Bradshaw Foundation (2007). Дата обращения: 13 августа 2009.
  148. Helaman Ferguson web site. Helasculpt.com. Дата обращения: 13 августа 2009. Архивировано 11 апреля 2009 года.
  149. Thurston, William P. The Eightfold Way: A Mathematical Sculpture by Helaman Ferguson (англ.) / Levy, Silvio. — Volume 35: The Eightfold Way: The Beauty of Klein's Quartic Curve. — MSRI Publications, 1999. — P. 1—7.
  150. MAA book review of ''The Eightfold Way: The Beauty of Klein's Quartic Curve''. Maa.org (14 ноября 1993). Дата обращения: 13 августа 2009.
  151. The Math Geek Holiday Gift Guide. Scientific American (23 ноября 2014). Дата обращения: 7 июня 2015.
  152. Gallery: Bathsheba Grossman. Symmetry Magazine. Дата обращения: 7 июня 2015.
  153. Crocheting the Lorenz manifold. University of Auckland (2005). Дата обращения: 12 октября 2015. Архивировано 10 апреля 2015 года.
  154. Henderson, David; Taimina, Daina (англ.). Crocheting the hyperbolic plane (англ.) // The Mathematical Intelligencer. — 2001. — Vol. 23, no. 2. — P. 17—28. — doi:10.1007/BF03026623..
  155. Osinga, Hinke M (англ.); Krauskopf, Bernd. Crocheting the Lorenz manifold (англ.) // The Mathematical Intelligencer. — 2004. — Vol. 26, no. 4. — P. 25—37. — doi:10.1007/BF02985416.
  156. Dietz, Ada K. (1949), Algebraic Expressions in Handwoven Textiles, Louisville, Kentucky: The Little Loomhouse, <http://www2.cs.arizona.edu/patterns/weaving/monographs/dak_alge.pdf> 
  157. Miller, J. C. P. (англ.). Periodic forests of stunted trees (англ.) // Philosophical Transactions of the Royal Society of London : journal. — 1970. — Vol. 266, no. 1172. — P. 63—111. — doi:10.1098/rsta.1970.0003. — JSTOR 73779.
  158. Designing Beauty: The Art of Cellular Automata / A. Adamatzky, G. J. Martínez (Eds.). — Springer International Publishing, 2016. — (Emergence, Complexity and Computation ; т. 20). — ISBN 978-3-319-27270-2, 978-3-319-27269-6.
  159. От англ. mathematicians — «математики» и англ. knit — вязать.
  160. Pat Ashforth & Steve Plummer – Mathekniticians. Woolly Thoughts. Дата обращения: 4 октября 2015.
  161. Knitting reinvented: Mathematics, feminism and metal. BBC (20 августа 2012). Дата обращения: 23 сентября 2015.
  162. Menger Sponge. Woolly Thoughts: In Pursuit of Crafty Mathematics. Дата обращения: 23 сентября 2015.
  163. От англ. maths — «математика» и англ. Atghans — «вязаный платок», «покрывало».
  164. Afghans for Schools. Woolly Thoughts: Mathghans. Дата обращения: 23 сентября 2015.
  165. Mathghans with a Difference. — Simply Knitting Magazine, 2008. — 1 июля. Архивировано 25 сентября 2015 года.
  166. Giotto di Bondone and assistants: Stefaneschi triptych. The Vatican. Дата обращения: 16 сентября 2015.
  167. Gamwell, Lynn. Mathematics and Art: A Cultural History. — Princeton University Press, 2015. — С. 337—338. — ISBN 978-0-691-16528-8.
  168. Art and Mathematics (5 сентября 2007). Дата обращения: 5 сентября 2015.
  169. Hofstadter, Douglas R. Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid (нем.). — Penguin, 1980. — S. 627. — ISBN 978-0-14-028920-6.
  170. англ. "eerie toytown image".
  171. англ. "cosy traditional forms".
  172. René Magritte: The Pleasure Principle – exhibition. The Guardian (10 июня 2011). Дата обращения: 5 сентября 2015.
  173. King, Elliott. Dali / Ades, Dawn. — Milan: Bompiani Arte, 2004. — С. 418—421.
  174. «The difference between an Escher drawing and non-Euclidean geometry is that in the latter, comprehensible interpretations can be found for the undefined terms, resulting in a comprehensible total system, whereas for the former, the end result is not reconcilable with one’s conception of the world, no matter how long one stares at the pictures.»
  175. англ. "strange loop, or tangled hierarchy"
  176. Hofstadter, Douglas R. Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid (нем.). — Penguin, 1980. — S. 98—99, 690—717. — ISBN 978-0-394-74502-2.
  177. de Smit, B. The Mathematical Structure of Escher's Print Gallery (англ.) // Notices of the American Mathematical Society : journal. — 2003. — Vol. 50, no. 4. — P. 446—451.
  178. Applying mathematics to Escher's Print Gallery. Leiden University. Дата обращения: 10 ноября 2015.
  179. Van Gogh and the Algorithm: How Math Can Save Art. Time Magazine (16 июня 2014). Дата обращения: 4 сентября 2015.
  180. The Van Gogh Project: Art Meets Mathematics in Ongoing International Study (недоступная ссылка). Society for Industrial and Applied Mathematics (18 мая 2009). Дата обращения: 4 сентября 2015. Архивировано 7 сентября 2015 года.
  181. Emmerling, Leonhard. Jackson Pollock, 1912–1956. — 2003. — С. 63. — ISBN 3-8228-2132-2.
  182. Taylor, Richard P.; Micolich, Adam P.; Jonas, David. Fractal analysis of Pollock's drip paintings (англ.) // Nature : journal. — 1999. — June (vol. 399). — P. 422. — doi:10.1038/20833. Архивировано 16 августа 2015 года. Архивированная копия (недоступная ссылка). Дата обращения: 9 июня 2017. Архивировано 16 августа 2015 года.
  183. Taylor, Richard; Micolich, Adam P.; Jonas, David. Fractal Expressionism: Can Science Be Used To Further Our Understanding Of Art? (англ.) // Physics World : magazine. — 1999. — October (vol. 12). — P. 25—28. — doi:10.1088/2058-7058/12/10/21. Архивировано 5 августа 2012 года.. — «Pollock died in 1956, before chaos and fractals were discovered. It is highly unlikely, therefore, that Pollock consciously understood the fractals he was painting. Nevertheless, his introduction of fractals was deliberate. For example, the colour of the anchor layer was chosen to produce the sharpest contrast against the canvas background and this layer also occupies more canvas space than the other layers, suggesting that Pollock wanted this highly fractal anchor layer to visually dominate the painting. Furthermore, after the paintings were completed, he would dock the canvas to remove regions near the canvas edge where the pattern density was less uniform.». Архивированная копия (недоступная ссылка). Дата обращения: 9 июня 2017. Архивировано 5 августа 2012 года.
  184. King, M. From Max Ernst to Ernst Mach: epistemology in art and science. (2002). Дата обращения: 17 сентября 2015.
  185. Dodgson, N. A. Mathematical characterisation of Bridget Riley's stripe paintings (англ.) // Journal of Mathematics and the Arts (англ.) : journal. — 2012. — Vol. 5. — P. 1—21. — doi:10.1080/17513472.2012.679468.. — «over the course [of] the early 1980s, Riley's patterns moved from more regular to more random (as characterised by global entropy), without losing their rhythmic structure (as characterised by local entropy). This reflects Kudielka's description of her artistic development.».
  186. Cucker, Felix. Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics (англ.). — Cambridge University Press, 2013. — P. 116—120. — ISBN 978-0-521-72876-8.
  187. The Geometry of Perspective Drawing on the Computer. University of Utah (24 июля 2001). Дата обращения: 5 сентября 2015.
  188. Gamwell, Lynn. Mathematics and Art: A Cultural History. — Princeton University Press, 2015. — С. xviii. — ISBN 978-0-691-16528-8.
  189. Mathematics and Art. 6. Origami. American Mathematical Society. Дата обращения: 1 сентября 2015.
  190. T. Sundara Rao. Geometric Exercises in Paper Folding. — Addison, 1893.
  191. Justin, J. Mathematics of Origami, part 9 // British Origami. — 1986. — Июнь. — С. 28—30..
  192. Alsina, Claudi; Nelsen, Roger. Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics (англ.). — Mathematical Association of America, 2010. — Vol. 42. — P. 57. — (Dolciani Mathematical Expositions). — ISBN 978-0-88385-348-1.
  193. Alperin, Roger C.; Lang, Robert J. One-, Two-, and Multi-Fold Origami Axioms // 4OSME. — A K Peters, 2009.
  194. The World of Geometric Toys, Origami Spring, August, 2007.
  195. англ. "baffling trick".
  196. Cucker, Felix. Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics (англ.). — Cambridge University Press, 2013. — P. 163—166. — ISBN 978-0-521-72876-8.
  197. Gamwell, Lynn. Mathematics and Art: A Cultural History. — Princeton University Press, 2015. — С. 406—410. — ISBN 978-0-691-16528-8.
  198. Ghyka, Matila. The Geometry of Art and Life. — Dover, 2003. — С. ix—xi. — ISBN 978-0-486-23542-4.
  199. Lawlor, Robert. Sacred Geometry: Philosophy and Practice. — Thames & Hudson (англ.), 1982. — ISBN 978-0-500-81030-9.
  200. 1 2 Celestial Themes in Art & Architecture. Dartmouth College (1998). Дата обращения: 5 сентября 2015. (недоступная ссылка)
  201. The Thought of a Thought – Edgar Allan Poe. MathPages. Дата обращения: 5 сентября 2015.
  202. The golden ratio and aesthetics. Дата обращения: 26 июня 2015.

Литература[править | править код]

  • Волошинов А. В. Математика и искусство: Книга для тех, кто не только любит математику или искусство, но и желает задуматься о природе прекрасного и красоте науки. 2-е издание, доработанное и дополненное. — М.: Просвещение, 2000. — 399 с. — ISBN 5-09-008033-X.

Ссылки[править | править код]