Математические основы квантовой механики
Математические основы квантовой механики — принятый в квантовой механике способ математического моделирования квантовомеханических явлений, позволяющий вычислять численные значения наблюдаемых в квантовой механике величин. Были созданы Луи де-Бройлем[1] (открытие волн материи), В. Гейзенбергом[2] (создание матричной механики, открытие принципа неопределённости), Э. Шрёдингером[3] (уравнение Шрёдингера), Н. Бором[4] (формулировка принципа дополнительности). Завершил создание математических основ квантовой механики и придал им современную форму П. А. М. Дирак[5][6]. Отличительным признаком математических уравнений квантовой механики является наличие в них символа постоянной Планка.
Наблюдаемые величины и векторы состояний
[править | править код]В качестве основных характеристик для описания физических систем в квантовой механике используются наблюдаемые величины и состояния.
Наблюдаемые величины моделируются линейными самосопряжёнными операторами в комплексном сепарабельном гильбертовом пространстве (пространстве состояний)[7]. Каждой физической величине соответствует линейный эрмитов оператор или матрица. Например, радиусу-вектору частицы соответствует оператор умножения , импульсу частицы соответствует оператор , моменту импульса соответствует оператор
Состояния моделируются классами нормированных элементов этого пространства (векторами состояний), отличающимися друг от друга только комплексным множителем, с единичным модулем (нормированные волновые функции).[7]
Волновые функции удовлетворяют квантовому принципу суперпозиции: если два возможных состояния изображаются волновыми функциями и , то существует и третье состояние, изображаемое волновой функцией
где и -произвольные амплитуды[8].
Результатом точного измерения физической величины могут быть только собственные значения этого оператора .[7]
Математическое ожидание значений величины в состоянии вычисляется как . Здесь круглые скобки означают скалярное произведение векторов (в матричном представлении — диагональный матричный элемент).[7]
Векторы состояний и описывают одно и то же состояние тогда и только тогда, когда где — произвольное комплексное число. Каждой наблюдаемой однозначно сопоставляется линейный самосопряженный оператор[9]. Распределение вероятности возможных значений наблюдаемой величины в состоянии задаются мерой[10]:
где — самосопряжённый оператор, отвечающий наблюдаемой величине , — вектор состояния, — спектральная функция оператора , круглые скобки означают скалярное произведение векторов. Наблюдаемые величины и векторы состояния можно подвергнуть произвольному унитарному преобразованию
В этом случае любая имеющий смысл физическая величина не изменяется. Наблюдаемые одновременно измеримы тогда и только тогда, когда соответствующие им самосопряженные операторы перестановочны (коммутируют).
Полный набор совместно наблюдаемых величин
[править | править код]Совместно наблюдаемыми величинами называются величины, которые можно одновременно измерить. Совокупность операторов образует полный набор совместно наблюдаемых величин, если выполняются условия коммутативности ( для всех ), взаимной независимости (ни один из операторов не может быть представлен в виде функции от остальных), полноты (не существует оператора, коммутирующего со всеми и не являющегося функцией от них). Для данного набора величин пространство состояний может быть реализовано как пространство функций со скалярным произведением:
Операторы являются операторами умножения на соответствующие переменные:
Совместное распределение значений наблюдаемых:
Пространство состояний и вектор наблюдаемых для частицы
[править | править код]В случае частицы в трёхмерном пространстве наблюдаемыми величинами являются координаты и импульсы .
В представлении Шрёдингера (приспособленном к координатам) пространство состояний образуют квадратично интегрируемые функции со скалярным произведением:
Операторы координат представляют собой операторы умножения:
Операторы импульсов представляют собой операторы дифференцирования:
Соотношения коммутации
[править | править код]Операторы декартовых координат и операторы импульсов удовлетворяют соотношениям коммутации:
Здесь — постоянная Планка.[7]
Матричные элементы операторов декартовых координат и операторов импульсов удовлетворяют уравнениям, аналогичным уравнениям Гамильтона в классической механике:
Здесь — оператор, соответствующий функции Гамильтона в классической механике.[7]
Эволюция чистого состояния гамильтоновой системы во времени определяется нестационарным уравнением Шрёдингера
где — гамильтониан:
Стационарные, то есть не меняющиеся со временем состояния, определяются стационарным уравнением Шрёдингера:
При этом также предполагается, что эволюция квантовой системы является марковским процессом, а число частиц постоянно[11]. Эти положения позволяют создать математический аппарат, пригодный для описания широкого спектра задач в квантовой механике гамильтоновых систем, находящихся в чистых состояниях. Дальнейшим развитием этого аппарата является квантовая теория поля, в которой обычно описываются квантовые процессы с переменным числом частиц. Для описания состояний открытых, негамильтоновых и диссипативных квантовых систем используется матрица плотности, а для описания эволюции таких систем применяется уравнение Линдблада. Для описания квантовых немарковских процессов обычно предлагаются различные обобщения уравнения Линдблада.
Принцип тождественности
[править | править код]В любой паре одинаковых элементарных частиц можно поменять местами элементарные частицы без возникновения физически нового состояния. Математически принцип тождественности означает условие на собственные значения оператора перестановки : [12].
Состояния с являются антисимметричными (фермионы с полуцелым спином), c являются симметричными (бозоны с целым спином).
См. также
[править | править код]Примечания
[править | править код]- ↑ L. de Brogile, Ann. d. phys. (10), 3, 22, 1925
- ↑ W. Heisenberg, Z. S. f. Phys. 33, 879, 1925
- ↑ E. Schrodinger, Ann. d. phys. (4), 79, 361, 489, 734 1926
- ↑ N. Bohr, Naturwissensch. 16, 245, 1928
- ↑ Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики. — М.: Наука, 1979. — 409 с.
- ↑ Кузнецов Б. Г. Основные идеи квантовой механики. // Очерки развития основных физических идей. — Отв. ред. Григорьян А. Т., Полак Л. С. — М.: АН СССР, 1959. — Тираж 5 000 экз. — С. 390—421
- ↑ 1 2 3 4 5 6 Елютин, 1976, с. 25.
- ↑ Блохинцев, 1963, с. 577.
- ↑ Березин Ф. А., Шубин М. А. Уравнение Шредингера. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983.
- ↑ Крейн C. Г. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1972.
- ↑ Хотя это и не обязательно.
- ↑ Блохинцев, 1963, с. 579.
Литература
[править | править код]- Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики. — М.: Наука, 1979. — 409 с.
- Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Тодоров И. Т. Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля. М.: Наука, 1969. 424с.
- Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Оксак А. И., Тодоров И. Т. Общие принципы квантовой теории поля. М.: Наука, 1987. 616с.
- Браттели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика. М.: Мир, 1982. 512с.
- Дж. фон Нейман Математические основы квантовой механики, М.: Наука 1964.
- Эмх Ж. Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля. М.: Мир, 1976. 424с.
- Холево А. С. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории. М.: Наука, 1980. 320с.
- Холево А. С. Статистическая структура квантовой теории. Москва, Ижевск: РХД 2003. 188с.
- Сарданашвили Г. А. Современные методы теории поля. 3. Алгебраическая квантовая теория. Москва: УРСС 1999. 214с.
- Елютин П. В., Кривченков В. Д. Квантовая механика с задачами. — М.: Наука, 1976. — 336 с.
- Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — М.: Высшая школа, 1963. — 520 с.
- Макки Дж. Лекции по математическим основам квантовой механики. — М.: Мир, 1965. — 220 с.