Математическое совпадение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Говорят, что возникло математическое совпадение, если два выражения дают почти одинаковые значения, хотя теоретически это совпадение никак объяснить нельзя.

Например, существует близость круглого числа 1000, выраженного как степень 2 и как степень 10:

Некоторые математические совпадения используется в инженерном деле, когда одно выражение используется как аппроксимация другого.

Введение[править | править код]

Математическое совпадение часто связано с целыми числами, и удивительные («случайные») примеры отражают факт, что вещественные числа, возникающие в некоторых контекстах, оказываются по некоторым стандартам «близкой» аппроксимацией малых целых чисел или степени десятки, или, более обще, рационального числа с малым знаменателем. Другой вид математических совпадений, таких как целые числа, одновременно удовлетворяющие нескольким, внешне не связанным, критериям или совпадения, относящиеся к единицам измерения. В классе чисто математических совпадений некоторые простые результаты имеют глубокое математическое основание, в то время как другие появляются «нежданно-негаданно».

Если дано счётное число путей образования математических выражений, использующих конечное число символов, совпадение числа используемых символов и точности приближения может быть наиболее очевидным путём получения математического совпадения. Стандарта, однако, нет и сильный закон малых чисел[en] является видом аргумента, к которому прибегают, когда нет формального математического понимания. Необходимо некоторое эстетическое математическое чувство для вынесения решения о значении математического совпадения, является ли это исключительным явлением, либо это важный математический факт (см. раздел «Константа Рамануджана»[en] ниже о константе, которая появилась в печати несколько лет назад как научная первоапрельская шутка[1]). Подводя итог, эти случайные совпадения рассматриваются из-за их курьёзности или для ободрения любителей математики на элементарном уровне.

Некоторые примеры[править | править код]

Рациональные приближения[править | править код]

Иногда простые рациональные приближения исключительно близки к интересным иррациональным значениям. Факт объясним в терминах представления иррациональных значений непрерывными дробями, но почему эти невероятные совпадения случаются, часто остаётся неясным.

Часто используется рациональное приближение (непрерывными дробями) к отношению логарифмов различных чисел, что даёт (приближённое) совпадение степеней этих чисел[2].

Совпадения с числом [править | править код]

  • Первая подходящая дробь числа , [3; 7] = 22/7 = 3,1428..., известна с времён Архимеда [3], и даёт точность около 0,04%. Третья подходящая дробь, [3; 7, 15, 1] = 355/113 = 3,1415929..., которую нашёл Цзу Чунчжи [4], верна до шести десятичных знаков[3]. Эта высокая точность получается из-за того, что следующий член непрерывной дроби имеет необычно большое значение: = [3; 7, 15, 1, 292, ...][5].
  • Совпадение, в котором участвует и золотое сечение φ, задаётся формулой . Это соотношение связано с треугольником Кеплера. Некоторые исследователи считают, что это совпадение найдено в пирамидах Гизы, но крайне невероятно, что оно является преднамеренным[6].
  • Существует последовательность шести девяток, которая начинается с 762-й позиции десятичного представления числа . Для случайно выбранного нормального числа вероятность любой выбранной последовательности шести цифр (например, 658 020) встречается редко в десятичном представлении, только 0,08 %. Есть гипотеза, что является нормальным числом, но это не доказано.
  • ; верно с точностью до 0,002 %.

Совпадения с числом e[править | править код]

  • Последовательность цифр 1828 повторяется дважды близко к началу десятичного представления числа e = 2,7 1828 1828.... [7]
  • Существует последовательность цифр «99 999 999» среди первых 500.000 знаков числа e[8]

Совпадения со степенями 2[править | править код]

  • Совпадение верно с точностью 2,4 %. Рациональное приближение , или совпадает с точностью до 0,3 %. Это совпадение используется в инженерных раcчетах для аппроксимации удвоенной мощности как 3 dB (фактическое значение равно 3,0103 dB – см. Точка половинной мощности[en]), либо для перевода кибибайтов в килобайты [9][10].
  • Это же совпадение можно переписать как (исключаем общий множитель , так что относительная погрешность остаётся той же самой, 2,4 %), что соответствует рациональному приближению , или (также в пределах 0,3 %). Это совпадение используется, например, для установки выдержки в камерах как приближение степеней двойки (128, 256, 512) в последовательности выдержек 125, 250, 500, и т.д.[2].

Совпадения с музыкальными интервалами[править | править код]

  • Совпадение , обычно используется в музыке при настройке 7 полутонов равномерно темперированного строя в чистую квинту натурального строя: , что совпадает с точностью до 0,1%. Чистая квинта служит основой пифагорова строя и является наиболее распространённой системой в музыке. Из вытекающей аппроксимации следует, что квинтовый круг завершается на семь октав выше начала[2].
  • Совпадение приводит к рациональной версии 12-TET ладов, как заметил Иоганн Кирнбергер.
  • Совпадение приводит к рациональной версии темперации среднетонового строя на 1/4 коммы.
  • Совпадение ведёт к очень маленькому интервалу (около миллицента).
  • Совпадение со степенью 2 (см. выше) приводит к тому, что три большие терции составляют октаву, . Это и другие похожие приближения в музыке называются диесами.

Числовые выражения[править | править код]

Выражения со степенями [править | править код]

  • с точностью около 1,3% [11] Это можно понять в терминах формулы дзета-функции [12] Это совпадение использовалось при разработке логарифмических линеек, когда шкала начинается с , а не с .
  • с точностью до 0,0004%.[11]
  • с точностью до 0,02%.
  • с точностью до 0,004%.
  • или [13] с точностью до 8 десятичных знаков (согласно Рамануджану: Quarterly Journal of Mathematics, XLV, 1914, pp. 350–372). Рамануджан утверждает, что эта "любопытная аппроксимация" для была «получена эмпирически» и не имеет связи с теорией, которая развивалась в статье.

Некоторые правдоподобные связи выполняются с высокой степени точности, но тем не менее остаются совпадениями. Примером служит

Две стороны этого выражения отличаются лишь в 42-ом десятичном знаке[14].

Выражения со степенями и e[править | править код]

  • , с точностью 0,000 005%[13]
  • очень близко к 5, точность около 0,008%.
  • очень близко к 5, точность около 0,000 538% (Joseph Clarke, 2015)
  • очень близко к 20 (Конвей, Слоан, Плоуф, 1988). Это совпадение эквивалентно [13]
  • [13]

Выражения с , e и 163[править | править код]

  • , с точностью 0,0005%[13]
  • , с точностью 0,000004%[13]
  • Константа Рамануджана[en]: , точность , открытая в 1859 Шарлем Эрмитом[15]. Эта очень близкая аппроксимация не является типичным случайным математическим совпадением, где неизвестно никакого математического объяснения. Это следствие факта, что 163 является числом Хигнера[en].

Выражения с логарифмами[править | править код]

(точность 0,00024%).

Другие любопытные числовые совпадения[править | править код]

  • .[16]
  • и являются единственными нетривиальными последовательными степенями положительных целых чисел (Гипотеза Каталана).
  • является единственным целочисленным решением уравнения , в предположении, что [17] (см. формальный метод решения в статье W-функция Ламберта)
  • Число Фибоначчи F296182 (вероятно) является полупростым числом, поскольку F296182 = F148091 × L148091, где F148091 (30949 знаков) и число Люка L148091 (30950 знаков) являются вероятно простыми.[18]
  • В обсуждении парадокса дней рождения возникает число , которое «забавно» равно с точностью до 4 знаков[19].

Совпадения, связанные с десятичной системой[править | править код]

  • . Т.е. 2592 является числом Фридмана.[20]
  • .
  • . Это факторион, и их только 4 (в десятичной системе) — 1, 2, 145, 40585.[21]
  • ,    ,    ,     (Неправильные сокращения[en][22]). Кроме того, произведение этих четырёх дробей равно в точности 1/100.
  • ; ; и .[23]
  • . Можно переписать равенство , что делает 127 наименьшим числом Фридмана[20].
  •  ;  ;  ; самовлюблённые числа[24]
  • [25]
  • , а также при округлении до 8 знаков 0,05882353. Совпадение упомянул Гильберт Лабелле в ~1980. Кроме того, 5882353 является простым.
  • . Наибольшее такое число — 12157692622039623539.[26]
  • , где золотое сечение[27] (удивительное равенство с углом, выраженным в градусах) (см. Число зверя)
  • , где функция Эйлера[27]

Числовые совпадения в физическом мире[править | править код]

Длина шести недель[править | править код]

Число секунд в шести неделях, или 42 днях, равно в точности 10! (факториал) секунд (так как , и ). Многие заметили это совпадение, в частности, число 42 имеет важное значение в романе Дугласа Адамса «Автостопом по галактике».

Скорость света[править | править код]

Скорость света (по определению) равна в точности 299.792.458 м/с, очень близко к 300,000,000 м/с. Это чисто совпадение, поскольку метр был первоначально определён как 1/10.000.000 расстояния между земным полюсом и экватором на уровне моря, длина земной окружности получилась около 2/15 световой секунды[28].

Гравитационное ускорение[править | править код]

Не являясь константной, а зависящей от широты и долготы, числовое значение ускорение свободного падения на поверхности лежит между 9,74 и 9,87, что достаточно близко к 10. Это означает, что в результате второго закона Ньютона вес килограмма массы на земной поверхности Земли соответствует примерно 10 ньютонам приложено на объект силы [29].

Это совпадение на самом деле связано с вышеупомянутым совпадением квадрата с 10. Одно из ранних определений метра — длина маятника, период колебания которого равна двум секундам. Поскольку период полного колебания примерно задаётся формулой ниже, после алгебраических выкладок, получим, что гравитационная постоянная равна квадрату [30]

Когда было обнаружено, что длина окружности Земли очень близка 40,000,000 метрам, определение метра было изменено, чтобы отразить этот факт, поскольку это был более объективный стандарт (гравитационная постоянная на поверхности Земли не постоянна). Это привело к увеличению длины метра чуть меньше чем на 1 %, что попадало в пределы экспериментальных ошибок измерения.

Ещё одно совпадение — что величина g, равная примерно 9,8 м/с2, равна 1,03 светового года/год2, что близко к 1. Это совпадение связано с фактом, что g близко к 10 в системе единиц СИ (м/с2), как упоминалось выше, вместе с фактами, что число секунд в году близко к численному значению c/10, где cскорость света в м/с.

Константа Ридберга[править | править код]

Постоянная Ридберга, умноженная на скорость света и выраженная как частота, близка к Гц:[28]

Гц [31].

Постоянная тонкой структуры[править | править код]

Постоянная тонкой структуры близка к и была гипотеза, что она в точности равна .

Хотя это совпадение не столь строго, как некоторые выше, замечательно, что является безразмерной константой, так что это совпадение не связано с используемой системой мер.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Gardner, 2001, с. 674–694.
  2. 1 2 3 Schroeder, 2008, с. 26–28.
  3. 1 2 Beckmann, 1971, с. 101, 170.
  4. Mikami, 1913, с. 135.
  5. Weisstein, 2003, с. 2232.
  6. Herz-Fischler, 2000, с. 67.
  7. В 1828-м году родился Лев Толстой, это позволяет запомнить число e с точностью до 10 знаков.
  8. The Number e to 1 Million Digits. NASA. Дата обращения: 14 февраля 2017.
  9. Beucher, 2008, с. 195.
  10. Ayob, 2008, с. 278.
  11. 1 2 Frank Rubin, The Contest Center – Pi.
  12. Why is so close to 10? (Почему так близок к 10?), Noam Elkies
  13. 1 2 3 4 5 6 Weisstein, Eric W. Almost Integer (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  14. Архивированная копия (недоступная ссылка). Дата обращения: 25 февраля 2017. Архивировано 20 июля 2011 года.
  15. Barrow, 2002.
  16. Harvey Heinz, Narcissistic Numbers.
  17. Ask Dr. Math, "Solving the Equation x^y = y^x".
  18. David Broadhurst, "Prime Curios!: 10660...49391 (61899-digits)".
  19. Arratia, Goldstein, Gordon, 1990, с. 403–434.
  20. 1 2 Erich Friedman, Problem of the Month (August 2000) Архивная копия от 7 ноября 2019 на Wayback Machine.
  21. последовательность A014080 в OEIS
  22. Weisstein, Eric W. Anomalous Cancellation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  23. последовательность A061209 в OEIS
  24. последовательность A005188 в OEIS
  25. Prime Curios!: 343.
  26. последовательность A032799 в OEIS
  27. 1 2 Weisstein, Eric W. Beast Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  28. 1 2 Michon, Gérard P. Numerical Coincidences in Man-Made Numbers. Mathematical Miracles. Дата обращения: 29 апреля 2011.
  29. Leduc, 2003, с. 25.
  30. What Does Pi Have To Do With Gravity?. Wired (March 8, 2013). Дата обращения: 15 октября 2015.
  31. NIST.

Литература[править | править код]

  • Martin Gardner. Six Sensational Discoveries // The Colossal Book of Mathematics. — New York: W. W. Norton & Company, 2001. — С. 674–694. — ISBN 0-393-02023-1.
  • Yoshio Mikami. Development of Mathematics in China and Japan. — B. G. Teubner, 1913. — С. 135.
  • Petr Beckmann. A History of Pi. — Macmillan, 1971. — С. 101, 170. — ISBN 978-0-312-38185-1.
  • Roger Herz-Fischler. The Shape of the Great Pyramid. — Wilfrid Laurier University Press, 2000. — С. 67. — ISBN 978-0-889-20324-2.
  • Ottmar Beucher. Matlab und Simulink. — Pearson Education, 2008. — С. 195. — ISBN 978-3-8273-7340-3.
  • K. Ayob. Digital Filters in Hardware: A Practical Guide for Firmware Engineers. — Trafford Publishing, 2008. — С. 278. — ISBN 978-1-4251-4246-9.
  • Manfred Robert Schroeder. Number theory in science and communication. — 2nd. — Springer, 2008. — С. 26–28. — ISBN 978-3-540-85297-1.
  • John D Barrow. The Constants of Nature. — London: Jonathan Cape, 2002. — ISBN 0-224-06135-6.
  • Richard Arratia, Larry Goldstein, Louis Gordon. Poisson approximation and the Chen-Stein method // Statistical Science. — 1990. — Т. 5, вып. 4. — С. 403–434. — doi:10.1214/ss/1177012015.
  • Charles Smythe. Our Inheritance in the Great Pyramid. — Kessinger Publishing, 2004. — С. 39. — ISBN 1-4179-7429-X.
  • Steven A. Leduc. Cracking the AP Physics B & C Exam, 2004–2005 Edition. — Princeton Review Publishing, 2003. — С. 25. — ISBN 0-375-76387-2.
  • Rydberg constant times c in Hz. Fundamental physical constants. NIST. Дата обращения: 25 июля 2011.
  • Randall Munroe. What If?. — 2014. — ISBN 9781848549562.
  • Roger Herz-Fischler. The Shape of the Great Pyramid. — Wilfrid Laurier University Press, 2000. — С. 67. — ISBN 978-0-889-20324-2.
  • Eric W. Weisstein. CRC concise encyclopedia of mathematics. — CRC Press, 2003. — С. 2232. — ISBN 978-1-58488-347-0.

Ссылки[править | править код]