Матрица Гильберта

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В линейной алгебре, матрицей Гильберта (введена Давидом Гильбертом в 1894) называется квадратная матрица H с элементами:

Например, матрица Гильберта 5 × 5 имеет вид:

На матрицу Гильберта можно смотреть как на полученную из интегралов:

то есть, как на матрицу Грама для степеней x. Она возникает при аппроксимации функций полиномами методом наименьших квадратов.

Матрицы Гильберта являются стандартным примером плохо обусловленных матриц, что делает их неудобными для вычислений с помощью вычислительно неустойчивых методов. Например, число обусловленности относительно - нормы для вышеприведённой матрицы равно 4.8 · 105.

История[править | править вики-текст]

Гильберт (1894) ввёл матрицу Гильберта при изучении следующего вопроса: "Предположим, что I = [a, b] — вещественный интервал. Возможно ли тогда найти ненулевой многочлен P с целочисленными коэффициентами, такой что интеграл

был бы меньше любого заданного числа ε > 0?" Для ответа на данный вопрос Гильберт вывел точную формулу для определителя матриц Гильберта и исследовал их асимптотику. Он пришёл к выводу, что ответ положителен, если длина ba интервала меньше  4.

Свойства[править | править вики-текст]

где

Уже Гильберт заметил любопытный факт, что определитель матрицы Гильберта является обратным целым числом (см. последовательность A005249 в OEIS). Он следует из равенства

Используя формулу Стирлинга можно установить следующий асимптотический результат:

где an сходится к константе при , где Aпостоянная Глейшера-Кинкелина.

где n — порядок матрицы. Таким образом, элементы обратной матрицы — целые числа.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

  • Hilbert, David (1894), "Ein Beitrag zur Theorie des Legendre'schen Polynoms", Acta Mathematica (Springer Netherlands) . — Т. 18: 155–159, ISSN 0001-5962, DOI 10.1007/BF02418278 . Перепечатано в Hilbert David. article 21 // Collected papers. — Vol. II.
  • Beckermann, Bernhard (2000). «The condition number of real Vandermonde, Krylov and positive definite Hankel matrices». Numerische Mathematik 85 (4): 553–577. DOI:10.1007/PL00005392.
  • Choi, M.-D. (1983). «Tricks or Treats with the Hilbert Matrix». American Mathematical Monthly 90 (5): 301–312. DOI:10.2307/2975779.
  • Todd, John (1954). «The Condition Number of the Finite Segment of the Hilbert Matrix». National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 39: 109–116.
  • Wilf H. S. Finite Sections of Some Classical Inequalities. — Heidelberg: Springer, 1970. — ISBN 3-540-04809-X.