Матрица Гильберта

В линейной алгебре матрицей Гильберта (введена Давидом Гильбертом в 1894) называется квадратная матрица H с элементами:

$H_{ij}={\frac {1}{i+j-1}},i,j=1,2,3,...,n$

Например, матрица Гильберта 5 × 5 имеет вид:

$H={\begin{bmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}\\[4pt]{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}\\[4pt]{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}\\[4pt]{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}\\[4pt]{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}&{\frac {1}{9}}\end{bmatrix}}.$

На матрицу Гильберта можно смотреть как на полученную из интегралов:

$H_{ij}=\int _{0}^{1}x^{i+j-2}\,dx,$

то есть, как на матрицу Грама для степеней x. Она возникает при аппроксимации функций полиномами методом наименьших квадратов.

Матрицы Гильберта являются стандартным примером плохо обусловленных матриц, что делает их неудобными для вычислений с помощью вычислительно неустойчивых методов. Например, число обусловленности относительно $\left\|\cdot \right\|_{2}$ - нормы для вышеприведённой матрицы равно 4.8 · 10⁵.

История

Гильберт (1894) ввёл матрицу Гильберта при изучении следующего вопроса: «Предположим, что I = [a, b] — вещественный интервал. Возможно ли тогда найти ненулевой многочлен P с целочисленными коэффициентами, такой что интеграл

$\int _{a}^{b}P(x)^{2}\,dx$

был бы меньше любого заданного числа ε > 0?» Для ответа на данный вопрос Гильберт вывел точную формулу для определителя матриц Гильберта и исследовал их асимптотику. Он пришёл к выводу, что ответ положителен, если длина интервала b − a < 4.

Свойства

• Матрица Гильберта является симметричной положительно определённой матрицей. Более того, матрица Гильберта является вполне положительной матрицей.

• Матрица Гильберта является примером ганкелевой матрицы.

• Определитель матриц Гильберта может быть выражен явно, как частный случай определителя Коши. Определитель матрицы Гильберта n × n равен

$\det(H)={{c_{n}^{\;4}} \over {c_{2n}}},$

где

$c_{n}=\prod _{i=1}^{n-1}i^{n-i}=\prod _{i=1}^{n-1}i!.$

Уже Гильберт заметил любопытный факт, что определитель матрицы Гильберта является обратным целым числом (см. последовательность A005249 в OEIS). Он следует из равенства

${1 \over \det(H)}={{c_{2n}} \over {c_{n}^{\;4}}}=n!\cdot \prod _{i=1}^{2n-1}{i \choose [i/2]}.$

Используя формулу Стирлинга можно установить следующий асимптотический результат:

$\det(H)\approx a_{n}\,n^{-1/4}(2\pi )^{n}\,4^{-n^{2}}$

где a_n сходится к константе $e^{1/4}2^{1/12}A^{-3}\approx 0.6450$ при $n\rightarrow \infty$, где A — постоянная Глейшера-Кинкелина.

• Матрица, обратная к матрице Гильберта, может быть выражена в явном виде через биномиальные коэффициенты:

$(H^{-1})_{ij}=(-1)^{i+j}(i+j-1){n+i-1 \choose n-j}{n+j-1 \choose n-i}{i+j-2 \choose i-1}^{2}$

где n — порядок матрицы. Таким образом, элементы обратной матрицы $H^{-1}$ — целые числа.

• Число обусловленности матрицы Гильберта n × n возрастает как $O((1+{\sqrt {2}})^{4n}/{\sqrt {n}})$.

Ссылки

• Hilbert, David (1894), "Ein Beitrag zur Theorie des Legendre'schen Polynoms", Acta Mathematica, 18, Springer Netherlands: 155—159, doi:10.1007/BF02418278, ISSN 0001-5962, JFM 25.0817.02. Перепечатано в Hilbert, David. article 21 // Collected papers (неопр.). — Т. II.
• Beckermann, Bernhard. The condition number of real Vandermonde, Krylov and positive definite Hankel matrices (англ.) // Numerische Mathematik : journal. — 2000. — Vol. 85, no. 4. — P. 553—577. — doi:10.1007/PL00005392.
• Choi, M.-D. Tricks or Treats with the Hilbert Matrix (англ.) // American Mathematical Monthly : journal. — 1983. — Vol. 90, no. 5. — P. 301—312. — doi:10.2307/2975779. — .
• Todd, John. The Condition Number of the Finite Segment of the Hilbert Matrix (англ.) // National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series : journal. — 1954. — Vol. 39. — P. 109—116.
• Wilf, H. S. Finite Sections of Some Classical Inequalities (англ.). — Heidelberg: Springer, 1970. — ISBN 3-540-04809-X.