Матрица перехода

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В линейной алгебре, базис векторного пространства размерности  — это последовательность из векторов таких, что любой вектор пространства может быть представлен единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов. При заданном базисе операторы представляются в виде квадратных матриц. Так как часто необходимо работать с несколькими базисами в одном и том же векторном пространстве, необходимо иметь правило перевода координат векторов и операторов из базиса в базис. Такой переход осуществляется с помощью матрицы перехода.

Определение[править | править вики-текст]

Если вектора выражаются через вектора как

.
.
.
.

то матрица перехода от базиса к базису ) будет

Использование[править | править вики-текст]

При умножении матрицы, обратной к матрице перехода, на столбец, составленный из коэффициентов разложения вектора по базису , мы получаем тот же вектор, выраженный через базис .

Пример[править | править вики-текст]

Для того, чтобы повернуть вектор на угол θ против часовой стрелки, можно умножить матрицу поворота на него:

Матрицы наиболее распространённых преобразований
В двумерных координатах В однородных двумерных координатах В однородных трёхмерных координатах
Масштабирование

При a, b и c — коэффициенты масштабирования соответственно по осям OX, OY и OZ:

Поворот

При φ — угол поворота изображения в двухмерном пространстве

По часовой стрелке

Относительно OX на угол φ

Относительно OY на угол ψ

Против часовой стрелки

Относительно OZ на угол χ

Перемещение

При a, b и c — смещение соответственно по осям OX, OY и OZ.

В неоднородных координатах не имеет матричного представления.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Матрица перехода является невырожденной. То есть определитель этой матрицы не равен нулю.

Пример поиска матрицы[править | править вики-текст]

Найдём матрицу перехода от базиса к единичному базису путём элементарных преобразований

следовательно

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]