Матрицы Дирака

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ма́трицы Ди́рака (также известные как га́мма-ма́трицы) — набор матриц, удовлетворяющих особым антикоммутационным соотношениям. Часто используются в релятивистской квантовой механике.

Определение[править | править вики-текст]

Матрицами Дирака называется любой набор матриц, удовлетворяющих уравнению

где метрика Минковского сигнатуры I — единичная матрица, фигурные скобки обозначают антикоммутатор.

Один из возможных способов выбрать матрицы Дирака в четырёхмерном пространстве такой:

(Дираковское представление; используются также представления Вейля и Майораны).

Пятая гамма-матрица, [править | править вики-текст]

Полезно определить произведение четырёх гамма-матриц следующим образом:

(в представлении Дирака).


можно записать в альтернативном виде:

где тензор Леви-Чивиты.

Эта матрица полезна при обсуждении хиральности в квантовой механике. Так, дираковское спинорное поле можно спроецировать на его левую или правую компоненту:

.

Некоторые свойства :

  • Собственные значения равны ±1, поскольку
  • Антикоммутирует с четырьмя другими гамма-матрицами:

Блочная структура[править | править вики-текст]

Матрицы Дирака могут быть компактно записаны как блочные матрицы с использованием матриц Паули σ1, σ2, σ3, дополненных единичной матрицей I. В представлении Дирака:

В представлении Вейля остаются теми же, но отличается, поэтому тоже изменена:

Представление Вейля имеет то преимущество, что в нём хиральные проекции принимают простую форму:

Существует также представление Майораны, в котором все гамма-матрицы мнимые, а спиноры вещественные:

В современной науке основным является определяющее свойство гамма-матриц, а не их числовое представление.

Тождества[править | править вики-текст]

Тождество
1
2
3
4
5
Тождество
0
1 Любое произведение нечётного числа имеет нулевой след.
2
3
4
5


Определение гамма-матриц обобщается на пространства других размерностей, где их количество может отличаться.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Зи Э. Квантовая теория поля в двух словах. — Ижевск: РХД, 2009. — 632 с.
  • Пескин М., Шредер Д. Введение в квантовую теорию поля. — Ижевск: РХД, 2002. — 784 с.
  • W. Pauli (1936). «Contributions mathématiques à la théorie des matrices de Dirac». Ann. Inst. Henri Poincaré 6: 109.