Медиана графа

Медиана — вершина графа, у которой сумма кратчайших расстояний от неё до вершин графа минимальная возможная.

Пусть необходимо выбрать место для размещения телефонного коммутатора, электроподстанции, баз снабжения в сети дорог или отдела сортировки в почтовой связи. Во всех этих задачах о размещении пункта обслуживания требуется так расположить этот пункт, чтобы сумма кратчайших расстояний от этого пункта до вершин графа была минимально возможной. Оптимальное в указанном смысле место расположения пункта называется медианой графа.

Задача о p-медиане

Задача о нахождении p-медианы данного графа $G$ — это задача о размещении заданного числа (скажем, p) пунктов обслуживания, при которых сумма кратчайших расстояний от вершин графа $G$ до ближайших пунктов принимает минимально возможное значение.

p-медиана графа

Обобщим понятие медианы, определив p-медиану.

Пусть $X_{p}$ — подмножество множества вершин X ориентированного графа $G=(X,\Gamma )$, и положим, что $X_{p}$ содержит p вершин. Переопределим следующие обозначения:

$d(X_{p},x_{j})=min[d(x_{i},x_{j})]$

$d(x_{j},X_{p})=min[d(x_{j},x_{i})]$, где минимум ищется по всем $x_{i}\in X_{P}$.

Если $x_{i}^{1}$ — вершина из $X_{p}$, на которой достигается минимум в предыдущих формулах, то говорят, что вершина $x_{j}$ прикреплена $x_{i}^{1}$.

Передаточные же числа множества вершин $X_{p}$ определяются аналогично передаточным числам одиночной вершины:

$\sigma _{o}(x_{i})=\sum v_{j}d(X_{p},x_{j})$ — внешнее передаточное число,

$\sigma _{t}(x_{i})=\sum v_{j}d(x_{j},X_{p})$ — внутреннее передаточное число.

Множество же $X_{o}^{*}$, для которого $\sigma _{o}(X_{o}^{*})=min[\sigma _{o}(x_{i})]$ (минимум ищется по всем $X_{p}\subseteq X)$, называется внешней p-медианой графа $G$, аналогично определяется внутренняя p-медиана.

Абсолютная p-медиана

Для упрощения задачи будем далее рассматривать неориентированный граф G. Тогда индексы «t» и «o» будут отсутствовать, так как внешние и внутренние передаточные числа будут совпадать. Точку графа (вершина или точка дуги), для которой передаточное число будет принимать наименьшее значение, будем называть абсолютной медианой графа G.

Литература

• Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. — М.: Мир, 1978.
• Э. Майника. Алгоритмы оптимизации на сетях и графах. — М.: Мир, 1981. — 324 с.

Ссылки

• Приближенный алгоритм поиска p-медиан
• Размещение медиан