Мера Жордана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Мера Жордана — один из способов формализации понятия длины, площади и -мерного объёма в -мерном евклидовом пространстве.

Построение[править | править вики-текст]

Множество измеримо по Жордану если внутренняя мера Жордана равна внешней мере Жордана.

Мера Жордана параллелепипеда в определяется как произведение

Для ограниченного множества определяются:

  • внешняя мера Жордана
  • внутренняя мера Жордана
    , если

здесь  — параллелепипеды описанного выше вида.

Множество называется измеримым по Жордану (квадрируемым при , кубируемым при ), если . В этом случае мера Жордана равна .

Свойства[править | править вики-текст]

  • Мера Жордана инвариантна относительно движений евклидова пространства.
  • Ограниченное множество измеримо по Жордану тогда и только тогда, когда его граница имеет меру Жордана нуль (или, что равносильно, когда его граница имеет меру Лебега нуль).
    • В частности, все множества, граница которых состоит из конечного числа гладких кривых и точек, измеримы по Жордану. Тем не менее, существуют множества, ограниченные простой замкнутой кривой Жордана, которые не измеримы по Жордану.
  • Внешняя мера Жордана одна и та же для и (замыкания множества ) и равна мере Бореля .
  • Измеримые по Жордану множества образуют кольцо, на котором мера Жордана конечная аддитивная функция.

История[править | править вики-текст]

Приведённое понятие меры ввели Пеано (1887) и Жордан (1892). Впоследствии понятие было обобщено Лебегом на более широкий класс множеств.

Пример множества, неизмеримого по Жордану[править | править вики-текст]

Рассмотрим меру Жордана , определённую на и пусть — множество точек единичного отрезка. Пусть — подмножество рациональных точек множества , тогда  — неизмеримое по Жордану множество, так как , то есть верхняя и нижняя мера Жордана не совпадают.

Литература[править | править вики-текст]

  • Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
  • Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д. Сборник задач по математическому анализу, глава 2;
  • Peano, G. Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale. — Torino, 1887;
  • Jordan, C. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1892. — t. 8. — p. 69—99;

См. также[править | править вики-текст]