Метод Адамса

Ме́тод А́дамса — разностный метод численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, позволяющий вычислять таблицу приближённых значений решения в начальных точках.

Назван по имени предложившего его английского астронома Дж. К. Адамса в 1855.

Пусть требуется найти приближенное решение дифференциального уравнения $y'=f(x,y)$, удовлетворяющее начальному условию $y(x_0) = y_0$. Численное решение задачи состоит в построении приближенного значения $y_1$ решения уравнения $y(x)$ в точке $x_1 = x_0 + h$.

Методами Адамса называют группу многошаговых методов, в которых приближенное решение $y_{n+1} = y(x_{n+1})$ в точке $x_{n+1}=x_0+h(n+1)$ вычисляется по формуле, использующей полином $P(x)$ наименьшей степени, интерполирующий правую часть $f(x,y)$ по значениям $f_n, f_{n-1}, ...,f_{n-k+1}, f_r = f(x_r,y_r)$.

Методы, в которых $P(x) = P_{kn}(x)$ называют $k$-шаговыми явными методами Адамса — Башфорта, а методы, в которых $P(x) = P_{(k+1)(n+1)}$ — $(k+1)$-шаговыми неявными методами Адамса — Мултона. Методы Адамса $k$-го порядка требуют предварительного вычисления решения в $k$ начальных точках. Часто для вычисления дополнительных начальных значений используется 4-стадийный метод Рунге — Кутты 4-го порядка точности.

Свойства

• Локальная погрешность методов Адамса $k$-го порядка — $O(h^k)$.
• Методы Адамса обладают лучшей по сравнению с методами Рунге — Кутта устойчивостью.

Библиография

• Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений, т. 2, М., 1959.