Метод Адамса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ме́тод А́дамса — конечноразностный многошаговый метод численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. В отличие от метода Рунге-Кутты использует для вычисления очередного значения искомого решения не одно, а несколько значений, которые уже вычислены в предыдущих точках.

Назван по имени предложившего его в 1855 году английского астронома Джона К. Адамса.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть дана система дифференциальных уравнений первого порядка

,

для которой надо найти решение на сетке с постоянным шагом . Расчётные формулы метода Адамса для решения этой системы имеют вид: [1]

a) экстраполяционные — метод Адамса-Башфорта

,


б) интерполяционные или неявные — метод Адамса-Мультона

,

где — некоторые вычисляемые постоянные.

При одном и том же формула б) точнее [2], но требует решения нелинейной системы уравнений для нахождения значения . На практике находят приближение из а), а затем приводят одно или несколько уточнений по формуле

.

Свойства[править | править вики-текст]

Методы Адамса -го порядка требуют предварительного вычисления решения в начальных точках. Для вычисления начальных значений обычно используют одношаговые методы, например, 4-стадийный метод Рунге — Кутты 4-го порядка точности.

Локальная погрешность методов Адамса -го порядка — . Структура погрешности метода Адамса такова, что погрешность остаётся ограниченной или растёт очень медленно в случае асимптотически устойчивых решений уравнения. Это позволяет использовать этот метод для отыскания устойчивых периодических решений, в частности, для расчёта движения небесных тел.

Методы Адамса–Башфорта[править | править вики-текст]

Явные методы Адамса-Башфорта [3]

, (Метод Эйлера)

Методы Адамса-Мультона[править | править вики-текст]

Неявные методы Адамса-Мультона [3]

, (Неявный метод Эйлера)

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Математический энциклопедический словарь. — М.: «Сов. энциклопедия », 1988. — С. 43.
  2. Интерполяция точнее экстраполяции.
  3. 1 2 Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul & Wanner, Gerhard (1993), Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems (2nd ed.), Berlin: Springer Verlag, ISBN 978-3-540-56670-0 .

Библиография[править | править вики-текст]