Метод Адамса

Ме́тод А́дамса — конечноразностный многошаговый метод численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. В отличие от метода Рунге-Кутты использует для вычисления очередного значения искомого решения не одно, а несколько значений, которые уже вычислены в предыдущих точках.

Назван по имени предложившего его в 1855 году английского астронома Джона К. Адамса.

Определение

Пусть дана система дифференциальных уравнений первого порядка

$y'=f(x,y),y(x_{0})=y_{0}$$y'=f(x,y),y(x_{0})=y_{0}$,

для которой надо найти решение на сетке с постоянным шагом $x_{n}-x_{0}=(n-1)h$$x_{n}-x_{0}=(n-1)h$. Расчётные формулы метода Адамса для решения этой системы имеют вид:

a) экстраполяционные — метод Адамса-Башфорта

$y_{n+1}=y_{n}+h\sum _{\lambda =0}^{k}{u_{-\lambda }f(x_{n-\lambda },y_{n-\lambda })}$$y_{n+1}=y_{n}+h\sum _{\lambda =0}^{k}{u_{-\lambda }f(x_{n-\lambda },y_{n-\lambda })}$,

б) интерполяционные или неявные — метод Адамса-Мультона

$y_{n+1}=y_{n}+h\sum _{\lambda =-1}^{k-1}{v_{-\lambda }f(x_{n-\lambda },y_{n-\lambda })}$$y_{n+1}=y_{n}+h\sum _{\lambda =-1}^{k-1}{v_{-\lambda }f(x_{n-\lambda },y_{n-\lambda })}$,

где $u_{-\lambda },v_{-\lambda }$$u_{-\lambda },v_{-\lambda }$ — некоторые вычисляемые постоянные.

При одном и том же $k$$k$ формула б) точнее, но требует решения нелинейной системы уравнений для нахождения значения $y_{n+1}$$y_{n+1}$. На практике находят приближение из а), а затем приводят одно или несколько уточнений по формуле

$y_{n+1}^{(i+1)}=y_{n}+h\sum _{\lambda =0}^{k-1}{v_{-\lambda }f(x_{n-\lambda },y_{n-\lambda })}+hv_{1}f(x_{n+1},y_{n+1}^{(i)})$$y_{n+1}^{(i+1)}=y_{n}+h\sum _{\lambda =0}^{k-1}{v_{-\lambda }f(x_{n-\lambda },y_{n-\lambda })}+hv_{1}f(x_{n+1},y_{n+1}^{(i)})$.

Свойства

Методы Адамса $k$$k$-го порядка требуют предварительного вычисления решения в $k$$k$ начальных точках. Для вычисления начальных значений обычно используют одношаговые методы, например, 4-стадийный метод Рунге — Кутты 4-го порядка точности.

Локальная погрешность методов Адамса $k$$k$-го порядка — $O(h^{k})$$O(h^{k})$. Структура погрешности метода Адамса такова, что погрешность остаётся ограниченной или растёт очень медленно в случае асимптотически устойчивых решений уравнения. Это позволяет использовать этот метод для отыскания устойчивых периодических решений, в частности, для расчёта движения небесных тел.

Методы Адамса-Башфорта

Явные методы Адамса-Башфорта

$y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n})$$y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n})$, (Метод Эйлера)

${\begin{aligned}y_{n+2}&=y_{n+1}+h\left({\frac {3}{2}}f(t_{n+1},y_{n+1})-{\frac {1}{2}}f(t_{n},y_{n})\right),\\y_{n+3}&=y_{n+2}+h\left({\frac {23}{12}}f(t_{n+2},y_{n+2})-{\frac {4}{3}}f(t_{n+1},y_{n+1})+{\frac {5}{12}}f(t_{n},y_{n})\right),\\y_{n+4}&=y_{n+3}+h\left({\frac {55}{24}}f(t_{n+3},y_{n+3})-{\frac {59}{24}}f(t_{n+2},y_{n+2})+{\frac {37}{24}}f(t_{n+1},y_{n+1})-{\frac {3}{8}}f(t_{n},y_{n})\right),\\y_{n+5}&=y_{n+4}+h\left({\frac {1901}{720}}f(t_{n+4},y_{n+4})-{\frac {1387}{360}}f(t_{n+3},y_{n+3})+{\frac {109}{30}}f(t_{n+2},y_{n+2})-{\frac {637}{360}}f(t_{n+1},y_{n+1})+{\frac {251}{720}}f(t_{n},y_{n})\right).\end{aligned}}$${\begin{aligned}y_{n+2}&=y_{n+1}+h\left({\frac {3}{2}}f(t_{n+1},y_{n+1})-{\frac {1}{2}}f(t_{n},y_{n})\right),\\y_{n+3}&=y_{n+2}+h\left({\frac {23}{12}}f(t_{n+2},y_{n+2})-{\frac {4}{3}}f(t_{n+1},y_{n+1})+{\frac {5}{12}}f(t_{n},y_{n})\right),\\y_{n+4}&=y_{n+3}+h\left({\frac {55}{24}}f(t_{n+3},y_{n+3})-{\frac {59}{24}}f(t_{n+2},y_{n+2})+{\frac {37}{24}}f(t_{n+1},y_{n+1})-{\frac {3}{8}}f(t_{n},y_{n})\right),\\y_{n+5}&=y_{n+4}+h\left({\frac {1901}{720}}f(t_{n+4},y_{n+4})-{\frac {1387}{360}}f(t_{n+3},y_{n+3})+{\frac {109}{30}}f(t_{n+2},y_{n+2})-{\frac {637}{360}}f(t_{n+1},y_{n+1})+{\frac {251}{720}}f(t_{n},y_{n})\right).\end{aligned}}$

Методы Адамса-Мультона

Неявные методы Адамса-Мультона

$y_{n}=y_{n-1}+hf(t_{n},y_{n})$$y_{n}=y_{n-1}+hf(t_{n},y_{n})$ , (Неявный метод Эйлера)

${\begin{aligned}y_{n+1}&=y_{n}+{\frac {1}{2}}h\left(f(t_{n+1},y_{n+1})+f(t_{n},y_{n})\right),\\y_{n+2}&=y_{n+1}+h\left({\frac {5}{12}}f(t_{n+2},y_{n+2})+{\frac {2}{3}}f(t_{n+1},y_{n+1})-{\frac {1}{12}}f(t_{n},y_{n})\right),\\y_{n+3}&=y_{n+2}+h\left({\frac {3}{8}}f(t_{n+3},y_{n+3})+{\frac {19}{24}}f(t_{n+2},y_{n+2})-{\frac {5}{24}}f(t_{n+1},y_{n+1})+{\frac {1}{24}}f(t_{n},y_{n})\right),\\y_{n+4}&=y_{n+3}+h\left({\frac {251}{720}}f(t_{n+4},y_{n+4})+{\frac {646}{720}}f(t_{n+3},y_{n+3})-{\frac {264}{720}}f(t_{n+2},y_{n+2})+{\frac {106}{720}}f(t_{n+1},y_{n+1})-{\frac {19}{720}}f(t_{n},y_{n})\right).\end{aligned}}$${\begin{aligned}y_{n+1}&=y_{n}+{\frac {1}{2}}h\left(f(t_{n+1},y_{n+1})+f(t_{n},y_{n})\right),\\y_{n+2}&=y_{n+1}+h\left({\frac {5}{12}}f(t_{n+2},y_{n+2})+{\frac {2}{3}}f(t_{n+1},y_{n+1})-{\frac {1}{12}}f(t_{n},y_{n})\right),\\y_{n+3}&=y_{n+2}+h\left({\frac {3}{8}}f(t_{n+3},y_{n+3})+{\frac {19}{24}}f(t_{n+2},y_{n+2})-{\frac {5}{24}}f(t_{n+1},y_{n+1})+{\frac {1}{24}}f(t_{n},y_{n})\right),\\y_{n+4}&=y_{n+3}+h\left({\frac {251}{720}}f(t_{n+4},y_{n+4})+{\frac {646}{720}}f(t_{n+3},y_{n+3})-{\frac {264}{720}}f(t_{n+2},y_{n+2})+{\frac {106}{720}}f(t_{n+1},y_{n+1})-{\frac {19}{720}}f(t_{n},y_{n})\right).\end{aligned}}$

Библиография

• Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений, т. 2, М., 1959.
• Бахвалов Н. С., Численные методы, 2 изд. М. 1975.