Метод Адамса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ме́тод А́дамса — конечноразностный многошаговый метод численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. В отличие от метода Рунге-Кутты использует для вычисления очередного значения искомого решения не одно, а несколько значений, которые уже вычислены в предыдущих точках.

Назван по имени предложившего его в 1855 году английского астронома Джона К. Адамса.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть дана система дифференциальных уравнений первого порядка

y' =f(x, y),   y(x_0) = y_0,

для которой надо найти решение на сетке с постоянным шагом x_n-x_0=nh . Расчётные формулы метода Адамса для решения этой системы имеют вид: [1]

a) экстраполяционные — метод Адамса-Башфорта

y_{n+1}= y_n + h\sum^{k}_{\lambda=0} {u_{-\lambda}f(x_{n-\lambda},y_{n-\lambda})},


б) интерполяционные или неявные — метод Адамса-Мультона

y_{n+1}= y_n + h\sum^{k-1}_{\lambda=-1} {v_{-\lambda}f(x_{n-\lambda},y_{n-\lambda})},

где u_{-\lambda}, v_{-\lambda} — некоторые вычисляемые постоянные.

При одном и том же k формула б) точнее [2], но требует решения нелинейной системы уравнений для нахождения значения y_{n+1} . На практике находят приближение из а), а затем приводят одно или несколько уточнений по формуле

y_{{n+1}}^{{(i+1)}}=y_{n}+h\sum _{{\lambda =0}}^{{k-1}}{v_{{-\lambda }}f(x_{{n-\lambda }},y_{{n-\lambda }})}+hv_{1}f(x_{{n+1}},y_{{n+1}}^{{(i)}}).

Свойства[править | править вики-текст]

Методы Адамса k-го порядка требуют предварительного вычисления решения в k начальных точках. Для вычисления начальных значений обычно используют одношаговые методы, например, 4-стадийный метод Рунге — Кутты 4-го порядка точности.

Локальная погрешность методов Адамса  k-го порядка —  O(h^k). Структура погрешности метода Адамса такова, что погрешность остаётся ограниченной или растёт очень медленно в случае асимптотически устойчивых решений уравнения. Это позволяет использовать этот метод для отыскания устойчивых периодических решений, в частности, для расчёта движения небесных тел.

Методы Адамса–Башфорта[править | править вики-текст]

Явные методы Адамса-Башфорта [3]

y_{n+1} = y_n + hf(t_n, y_n) , (Метод Эйлера)
 \begin{align}
y_{n+2} &= y_{n+1} + h\left( \frac{3}{2}f(t_{n+1}, y_{n+1}) - \frac{1}{2}f(t_n, y_n) \right) , \\
y_{n+3} &= y_{n+2} + h\left( \frac{23}{12} f(t_{n+2}, y_{n+2}) - \frac{4}{3} f(t_{n+1}, y_{n+1}) + \frac{5}{12}f(t_n, y_n)\right) , \\
y_{n+4} &= y_{n+3} + h\left( \frac{55}{24} f(t_{n+3}, y_{n+3}) - \frac{59}{24} f(t_{n+2}, y_{n+2}) + \frac{37}{24} f(t_{n+1}, y_{n+1}) - \frac{3}{8} f(t_n, y_n) \right) , \\
y_{n+5} &= y_{n+4} + h\left( \frac{1901}{720} f(t_{n+4}, y_{n+4}) - \frac{1387}{360} f(t_{n+3}, y_{n+3}) + \frac{109}{30} f(t_{n+2}, y_{n+2}) - \frac{637}{360} f(t_{n+1}, y_{n+1}) + \frac{251}{720} f(t_n, y_n) \right) .
\end{align}

Методы Адамса-Мультона[править | править вики-текст]

Неявные методы Адамса-Мультона [3]

 y_n = y_{n-1} + h f(t_n,y_n) , (Неявный метод Эйлера)
 \begin{align}
y_{n+1} &= y_n + \frac{1}{2} h \left( f(t_{n+1},y_{n+1}) + f(t_n,y_n) \right) , \\
y_{n+2} &= y_{n+1} + h \left( \frac{5}{12} f(t_{n+2},y_{n+2}) + \frac{2}{3} f(t_{n+1},y_{n+1}) - \frac{1}{12} f(t_n,y_n) \right) , \\
y_{n+3} &= y_{n+2} + h \left( \frac{3}{8} f(t_{n+3},y_{n+3}) + \frac{19}{24} f(t_{n+2},y_{n+2}) - \frac{5}{24} f(t_{n+1},y_{n+1}) + \frac{1}{24} f(t_n,y_n) \right) , \\
y_{n+4} &= y_{n+3} + h \left( \frac{251}{720} f(t_{n+4},y_{n+4}) + \frac{646}{720} f(t_{n+3},y_{n+3}) - \frac{264}{720} f(t_{n+2},y_{n+2}) + \frac{106}{720} f(t_{n+1},y_{n+1}) - \frac{19}{720} f(t_n,y_n) \right) .
\end{align}

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Математический энциклопедический словарь. — М.: «Сов. энциклопедия », 1988. — С. 43.
  2. Интерполяция точнее экстраполяции.
  3. 1 2 Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul & Wanner, Gerhard (1993), «Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems» (2nd ed.), Berlin: Springer Verlag, ISBN 978-3-540-56670-0 .

Библиография[править | править вики-текст]