Метод Лагранжа (дифференциальные уравнения)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных) — метод для получения общего решения неоднородного уравнения, зная общее решение однородного уравнения без нахождения частного решения.

Метод вариации произвольных постоянных для построения решения линейного неоднородного дифференциального уравнения[править | править вики-текст]

Метод состоит в замене произвольных постоянных в общем решении

соответствующего однородного уравнения

на вспомогательные функции , производные которых удовлетворяют линейной алгебраической системе

Определителем системы (1) служит вронскиан функций , что обеспечивает её однозначную разрешимость относительно .

Если  — первообразные для , взятые при фиксированных значениях постоянных интегрирования, то функция

является решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения. Интегрирование неоднородного уравнения при наличии общего решения соответствующего однородного уравнения сводится, таким образом, к квадратурам.

Метод вариации произвольных постоянных для построения решений системы линейных дифференциальных уравнений в векторной нормальной форме[править | править вики-текст]

состоит в построении общего решения (1) в виде

где  — базис решений соответствующего однородного уравнения, записанный в виде матрицы, а векторная функция , заменившая вектор произвольных постоянных, определена соотношением . Искомое частное решение (с нулевыми начальными значениями) при имеет вид

Для системы с постоянными коэффициентами последнее выражение упрощается:

Матрица называется матрицей Коши оператора .

Ссылки[править | править вики-текст]

  • exponenta.ru — Теоретическая справка c примерами