Метод Лагранжа (дифференциальные уравнения)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных) — метод для получения общего решения неоднородного уравнения, зная общее решение однородного уравнения без нахождения частного решения.

Метод вариации произвольных постоянных для построения решения линейного неоднородного дифференциального уравнения[править | править исходный текст]

a_n(t)z^{(n)}(t)+a_{n-1}(t)z^{(n-1)}(t)+...+a_1(t)z'(t)+a_0(t)z(t)=f(t)

Метод состоит в замене произвольных постоянных c_k в общем решении

z(t)=c_1 z_1(t)+c_2z_2(t)+...+c_nz_n(t)

соответствующего однородного уравнения

a_n(t) z^{(n)}(t) + a_{n-1}(t) z^{(n-1)}(t) + ... +a_1(t) z'(t) + a_0(t) z(t) = 0

на вспомогательные функции c_k(t), производные которых удовлетворяют линейной алгебраической системе


\left\{
\begin{matrix} 
z_1(t)c_1'(t) &+& z_2(t)c_2'(t) &+& ... &+& z_n(t)c_n'(t) &=& 0 \\
\vdots\\ 
z_1^{(n-2)}(t)c_1'(t) &+& z_2^{(n-2)}(t)c_2'(t) &+& ... &+& z_n^{(n-2)}(t)c_n'(t) &=& 0 \\
z_1^{(n-1)}(t)c_1'(t) &+& z_2^{(n-1)}(t)c_2'(t) &+& ... &+& z_n^{(n-1)}(t)c_n'(t) &=& f(t)/ a_n(t) 
\end{matrix}
\right.
\qquad(1)

Определителем системы (1) служит вронскиан функций z_1, z_2, ..., z_n, что обеспечивает её однозначную разрешимость относительно {c_k'}.

Если \tilde{c_k} — первообразные для c_k', взятые при фиксированных значениях постоянных интегрирования, то функция

z = z^*(t) = \tilde{c_1}(t)z_1(t) + ... + \tilde{c_n}(t)z_n(t)

является решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения. Интегрирование неоднородного уравнения при наличии общего решения соответствующего однородного уравнения сводится, таким образом, к квадратурам.

Метод вариации произвольных постоянных для построения решений системы линейных дифференциальных уравнений в векторной нормальной форме[править | править исходный текст]

\frac{d \bar{x}}{dt} = A(t)\bar{x} + \bar{f}(t), t\in I\qquad(1)

состоит в построении общего решения (1) в виде

\bar{x} = \bar{x^*}(t) = Z(t)\bar{u}(t)

где Z(t) — базис решений соответствующего однородного уравнения, записанный в виде матрицы, а векторная функция \bar{u}, заменившая вектор произвольных постоянных, определена соотношением \bar{u'}(t) = Z^{-1}(t)\bar{f}(t). Искомое частное решение (с нулевыми начальными значениями при t = t_0 имеет вид

\bar{x} = \bar{x^*}(t) = 	\int\limits_{t_0}^{t} Z(t)Z^{-1}(\tau)\bar{\tau} d\tau

Для системы с постоянными коэффициентами последнее выражение упрощается:

\bar{x} = \bar{x^*}(t) = \int\limits_{t_0}^{t} Z(t - \tau) \bar{\tau} d\tau

Матрица Z(t)Z^{-1}(\tau) называется матрицей Коши оператора L = A(t).

Внешние ссылки[править | править исходный текст]

  • exponenta.ru — Теоретическая справка c примерами