Метод Рунге — Кутты

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Метод Рунге — Кутта»)
Перейти к: навигация, поиск

Ме́тоды Ру́нге — Ку́тты (в устаревшей литературе встречались неправильные названия: ме́тоды Ру́нге — Ку́тта или же ме́тоды Ру́нге — Кутта́) — большой класс численных методов решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Первые методы данного класса были предложены около 1900 года немецкими математиками К. Рунге и М. В. Куттой.

К классу методов Рунге — Кутты относятся явный метод Эйлера и модифицированный метод Эйлера с пересчётом, которые представляют собой соответственно методы первого и второго порядка точности. Существуют стандартные явные методы третьего порядка точности, не получившие широкого распространения. Наиболее часто используется и реализован в различных математических пакетах (Maple, MathCAD, Maxima) классический метод Рунге — Кутты, имеющий четвёртый порядок точности. При выполнении расчётов с повышенной точностью всё чаще применяются методы пятого и шестого порядков точности[1][2]. Построение схем более высокого порядка сопряжено с большими вычислительными трудностями[3].

Методы седьмого порядка должны иметь по меньшей мере девять стадий, а методы восьмого порядка — не менее 11 стадий. Для методов девятого и более высоких порядков (не имеющих, впрочем, большой практической значимости) неизвестно, сколько стадий необходимо для достижения соответствующего порядка точности[3].

Классический метод Рунге — Кутты четвёртого порядка[править | править вики-текст]

Метод Рунге — Кутты четвёртого порядка при вычислениях с постоянным шагом интегрирования столь широко распространён, что его часто называют просто методом Рунге — Кутты.

Рассмотрим задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. (Далее , а ).

Тогда приближенное значение в последующих точках вычисляется по итерационной формуле:

Вычисление нового значения проходит в четыре стадии:

где — величина шага сетки по .

Этот метод имеет четвёртый порядок точности. Это значит, что ошибка на одном шаге имеет порядок , а суммарная ошибка на конечном интервале интегрирования имеет порядок .

Явные методы Рунге — Кутты[править | править вики-текст]

Семейство явных методов Рунге — Кутты является обобщением как явного метода Эйлера, так и классического метода Рунге — Кутты четвёртого порядка. Оно задаётся формулами

где — величина шага сетки по и вычисление нового значения проходит в этапов:

Конкретный метод определяется числом и коэффициентами и . Эти коэффициенты часто упорядочивают в таблицу (называемую таблицей Батчера):

Для коэффициентов метода Рунге — Кутты должны быть выполнены условия для . Если требуется, чтобы метод имел порядок , то следует также обеспечить условие

где — приближение, полученное по методу Рунге — Кутты. После многократного дифференцирования это условие преобразуется в систему полиномиальных уравнений относительно коэффициентов метода.

Неявные методы Рунге — Кутты[править | править вики-текст]

Все до сих пор упомянутые методы Рунге — Кутты являются явными методами. К сожалению, явные методы Рунге — Кутты, как правило, непригодны для решения жестких уравнений из-за малой области их абсолютной устойчивости[4]. Неустойчивость явных методов Рунге — Кутты создаёт весьма серьёзные проблемы и при решении дифференциальных уравнений в частных производных.

Неустойчивость явных методов Рунге — Кутты мотивировала развитие неявных методов. Неявный метод Рунге — Кутты имеет вид[5][6]:

где

Явный метод характерен тем, что матрица коэффициентов для него имеет нижний треугольный вид (включая и нулевую главную диагональ) — в отличие от неявного метода, где матрица имеет произвольный вид. Это также видно по таблице Батчера.

Следствием этого различия является необходимость на каждом шагу решать систему уравнений для , где  — число стадий. Это увеличивает вычислительные затраты, однако при достаточно малом можно применить принцип сжимающих отображений и решать данную систему методом простой итерации[7]. В случае одной итерации это увеличивает вычислительные затраты всего лишь в два раза.

С другой стороны, Ж. Кунцман (1961) и Дж. Батчер (1964) показали, что при любом количестве стадий существует неявный метод Рунге — Кутты с порядком точности . Это значит, например, что для описанного выше явного четырёхстадийного метода четвёртого порядка существует неявный аналог с вдвое большим порядком точности.

Неявный метод Рунге — Кутты второго порядка[править | править вики-текст]

Простейшим неявным методом Рунге — Кутты является модифицированный метод Эйлера «с пересчётом». Он задаётся формулой:

.

Для его реализации на каждом шаге необходимы как минимум две итерации (и два вычисления функции).

Прогноз:

.

Коррекция:

.

Вторая формула — это простая итерация решения системы уравнений относительно , записанной в форме сжимающего отображения. Для повышения точности итерацию-коррекцию можно сделать несколько раз, подставляя . Модифицированный метод Эйлера «с пересчётом» имеет второй порядок точности.

Устойчивость[править | править вики-текст]

Преимуществом неявных методов Рунге — Кутты в сравнении с явными является их бо́льшая устойчивость, что особенно важно при решении жестких уравнений. Рассмотрим в качестве примера линейное уравнение = λy. Обычный метод Рунге — Кутты, применённый к этому уравнению, сведётся к итерации , с r, равным

где обозначает вектор-столбец из единиц[8]. Функция называется функцией устойчивости[9]. Из формулы видно, что является отношением двух полиномов степени , если метод имеет стадий. Явные методы имеют строго нижнюю треугольную матрицу откуда следует, что и что функция устойчивости является многочленом[10].

Численное решение данного примера дает чистый ноль при условии с . Множество таких называется областью абсолютной устойчивости. В частности, метод называется A-устойчивым, если все с находятся в области абсолютной устойчивости. Функция устойчивости явного метода Рунге — Кутты является многочленом, поэтому явные методы Рунге — Кутты в принципе не могут быть A-устойчивыми[10].

Если метод имеет порядок , то функция устойчивости удовлетворяет условию при . Таким образом, представляет интерес отношение многочленов данной степени, приближающее экспоненциальную функцию наилучшим образом. Эти отношения известны как аппроксимации Паде. Аппроксимация Паде с числителем степени и знаменателем степени А-устойчива тогда и только тогда, когда [11]

-стадийный метод Гаусса — Лежандра имеет порядок , поэтому его функция устойчивости является приближением Паде . Отсюда следует, что метод является A-устойчивым[12]. Это показывает, что A-устойчивые методы Рунге — Кутты могут иметь сколь угодно высокий порядок. В отличие от этого, порядок А-устойчивости методов Адамса не может превышать два.

Произношение[править | править вики-текст]

Согласно грамматическим нормам русского языка, фамилия Ку́тта склоняется, поэтому говорят: «Метод Ру́нге — Ку́тты». Правила русской грамматики предписывают склонять все фамилии (в том числе и мужские), оканчивающиеся на -а, -я, которым предшествует согласный. Единственное исключение — фамилии французского происхождения с ударением на последнем слоге типа Дюма́, Золя́[13]. Однако иногда встречается несклоняемый вариант «Метод Ру́нге — Ку́тта» (например, в книге[14]).

Пример решения на алгоритмических языках программирования[править | править вики-текст]

производя замену и перенося в правую часть, получаем систему:

В программе на С# используется абстрактный класс RungeKutta, в котором следует переопределить абстрактный метод F, задающий правые части уравнений.

Пример решения в среде MATLAB[править | править вики-текст]

Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге — Кутты является одним из самых распространённых численных методов решений в технике. В среде MATLAB реализована его одна из разновидностей — метод Дормана — Принса[en]. Для решения системы уравнений необходимо сначала записать функцию, вычисляющую производные, т. е. функции y = g(x, y, z) и z = cos(3x) − 4y = f(x, y, z), о чём сказано выше. В одном из каталогов, к которому имеется доступ из системы MATLAB нужно создать текстовый файл с именем (например) runge.m со следующим содержимым (для MATLAB версии 5.3):

Имя файла и имя функции должно совпадать, но оно может быть любым неиспользуемым ранее.

Затем необходимо создать главный файл c именем, например, main.m, который будет выполнять основные вычисления. Этот главный файл будет содержать следующий текст:

Так как MATLAB ориентирован на работу с матрицами, решение по методу Рунге — Кутты очень легко выполняется для целого ряда x как, например, в приведённом примере программы. Здесь решение — график функции в пределах времён от 0 до x_fin.

Решение в среде MATLAB

Переменные x и y, полученные в результате работы функции ODE45, есть векторы значений. Очевидно, что решение конкретно заданного выше примера — второй элемент x, так как первое значение 0, шаг интегрирование h = 0,1, а интересуемое значение x = 0,1. Следующая запись в командном окне MATLAB даст искомое решение:

Ответ: y1 = 0,98768

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М.  Численные методы. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. — 630 с. — ISBN 5-93208-043-4. — С. 363—375.
  2. Ильина В. А., Силаев П. К.  Численные методы для физиков-теоретиков. Ч. 2. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — 118 с. — ISBN 5-93972-320-9. — С. 16—30.
  3. 1 2 Butcher J. C.  Numerical Methods for Ordinary Differential Equations. — New York: John Wiley & Sons, 2008. — ISBN 978-0-470-72335-7.
  4. Süli & Mayers, 2003, p. 349—351.
  5. Iserles, 1996, p. 41.
  6. Süli & Mayers, 2003, p. 351—352.
  7. Неявные методы Рунге — Кутты.
  8. Hairer & Wanner, 1996, p. 40—41.
  9. Hairer & Wanner, 1996, p. 40.
  10. 1 2 Iserles, 1996, p. 60.
  11. Iserles, 1996, p. 62—63.
  12. Iserles, 1996, p. 63.
  13. Как склонять фамилии (трудные случаи) — «Грамота.ру» — справочно-информационный Интернет-портал «Русский язык»
  14. Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. З.  Численные методы анализа. 3-е изд. — М.: Наука, 1967.

Литература[править | править вики-текст]