Метод Эйлера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Метод Эйлера — простейший численный метод решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Впервые описан Леонардом Эйлером в 1768 году в работе «Интегральное исчисление»[1]. Метод Эйлера является явным, одношаговым методом первого порядка точности, основанном на аппроксимации интегральной кривой кусочно-линейной функцией, так называемой ломаной Эйлера.

Ломаная Эйлера (красная линия) — приближённое решение в пяти узлах задачи Коши и точное решение этой задачи (выделено синим цветом)

Описание метода[править | править вики-текст]

Пусть дана задача Коши для уравнения первого порядка:

где функция определена на некоторой области . Решение ищется на интервале . На этом интервале введем узлы:

Приближенное решение в узлах , которое обозначим через , определяется по формуле:

Эти формулы непосредственно обобщаются на случай систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Оценка погрешности метода на шаге и в целом[править | править вики-текст]

Погрешность на шаге или локальная погрешность это разность между численным решением после одного шага вычисления и точным решением в точке . Численное решение задаётся формулой

Точное решение можно разложить в ряд Тейлора:

Локальную ошибку получаем, вычитая из второго равенства первое:

Это справедливо, если имеет непрерывную вторую производную[2]. Другим достаточным условием справедливости этой оценки, из которого вытекает предыдущее и которое обычно может быть легко проверено, является непрерывная дифференцируемость по обоим аргументам[3].

Погрешность в целом, глобальная или накопленная погрешность — это погрешность в последней точке произвольного конечного отрезка интегрирования уравнения. Для вычисления решения в этой точке требуется шагов, где длина отрезка. Поэтому глобальная погрешность метода .

Таким образом, метод Эйлера является методом первого порядка — имеет погрешность на шаге и погрешность в целом [3].

Значение метода Эйлера[править | править вики-текст]

Метод Эйлера являлся исторически первым методом численного решения задачи Коши. О. Коши использовал этот метод для доказательства существования решения задачи Коши. Ввиду невысокой точности и вычислительной неустойчивости для практического нахождения решений задачи Коши метод Эйлера применяется редко. Однако в виду своей простоты метод Эйлера находит своё применение в теоретических исследованиях дифференциальных уравнений, задач вариационного исчисления и ряда других математических проблем.

Модификации и общения[править | править вики-текст]

Модифицированный метод Эйлера с пересчетом[править | править вики-текст]

Повысить точность и устойчивость вычисления решения можно с помощью неявного метода Эйлера следующего вида.

Прогноз:

.

Коррекция:

.

Для повышения точности корректирующую итерацию можно повторить, подставляя .

Модифицированный метод Эйлера с пересчетом имеет второй порядок точности, однако для его реализации необходимо как минимум дважды вычислять . Метод Эйлера с пересчетом представляет собой разновидность методов Рунге-Кутты (предиктор-корректор).

Двухшаговый метод Адамса — Башфорта[править | править вики-текст]

Другой способ повысить точность метода заключается в использовании не одного, а нескольких вычисленных ранее значений функции:

Это линейный многошаговый метод.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Эйлер Л. Интегральное исчисление. Том 1. — М.: ГИТТЛ. 1956. [1]
  • Бабенко К. И. Основы численного анализа. — М.: Наука. 1986.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Эйлер Л. Интегральное исчисление, том 1, раздел 2, гл. 7.
  2. Atkinson, Kendall A. (1989), An Introduction to Numerical Analysis (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, с. 342, ISBN 978-0-471-50023-0 
  3. 1 2 Математический энциклопедический словарь. — М.: «Сов. энциклопедия », 1988. — С. 641.