Метод Эйлера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Метод Эйлера — простейший численный метод решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Впервые описан Леонардом Эйлером в 1768 году в работе «Интегральное исчисление»[1]. Метод Эйлера является явным, одношаговым методом первого порядка точности, основанном на аппроксимации интегральной кривой кусочно-линейной функцией, так называемой ломаной Эйлера.

Ломаная Эйлера (красная линия) — приближённое решение в пяти узлах задачи Коши и точное решение этой задачи (выделено синим цветом)

Описание метода[править | править вики-текст]

Пусть дана задача Коши для уравнения первого порядка


\frac{dy}{dx}=f(x,y),


y_{|_{x=x_0}}=y_0,

где функция f определена на некоторой области D\subset R^2. Решение ищется на интервале (x_0,b]. На этом интервале введем узлы

x_0<x_1<\dots<x_n\le b.

Приближенное решение в узлах x_i, которое обозначим через y_i определяется по формуле


y_i=y_{i-1}+(x_i-x_{i-1})f(x_{i-1},y_{i-1}),\quad i=1,2,3,\dots,n.

Эти формулы непосредственно обобщаются на случай систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Оценка погрешности метода на шаге и в целом[править | править вики-текст]

Погрешность на шаге или локальная погрешность это разность между численным решением после одного шага вычисления y_i и точным решением в точке x_i = x_{i-1}+h. Численное решение задаётся формулой

 y_i = y_{i-1} + h f(x_{i-1}, y_{i-1}). \quad

Точное решение можно разложить в ряд Тейлора:

 y(x_{i-1} + h) = y(x_{i-1}) + h y'(x_{i-1}) + \frac{1}{2}h^2 y''(x_{i-1}) + O(h^3).

Локальную ошибкуL получаем, вычитая из второго равенства первое:

 L = y(x_{i-1} + h) - y_i = \frac{1}{2} h^2 y''(x_{i-1}) + O(h^3) =O(h^2).

Это справедливо, если y имеет ограниченную третью производную[2]. Другим достаточным условием справедливости этой оценки является непрерывная дифференцируемость  f(x, y) [3].

Погрешность в целом, глобальная или накопленная погрешность это погрешность в последней точке произвольного конечного отрезка интегрирования уравнения. Для вычисления решения в этой точке требуется  S/h шагов, где  S длина отрезка. Поэтому глобальная погрешность метода G = O(h^2S/h)=O(h).

Таким образом, метод Эйлера является методом первого порядка — имеет погрешность на шаге  O(h^2) и погрешность в целом O(h)[3].

Значение метода Эйлера[править | править вики-текст]

Метод Эйлера являлся исторически первым методом численного решения задачи Коши. О. Коши использовал этот метод для доказательства существования решения задачи Коши. Ввиду невысокой точности и вычислительной неустойчивости для практического нахождения решений задачи Коши метод Эйлера применяется редко. Однако в виду своей простоты метод Эйлера находит свое применение в теоретических исследованиях дифференциальных уравнений, задач вариационного исчисления и ряда других математических проблем.

Модификации и общения[править | править вики-текст]

Модифицированный метод Эйлера с пересчетом[править | править вики-текст]

Повысить точность и устойчивость вычисления решения можно с помощью неявного метода Эйлера следующего вида.

Прогноз:

\tilde y_i=y_{i-1}+(x_i-x_{i-1})f(x_{i-1},y_{i-1}).

Коррекция:

y_i=y_{i-1}+(x_i-x_{i-1})\frac{f(x_{i-1},y_{i-1})+f(x_i,\tilde y_i)}{2}.

Для повышения точности корректирующую итерацию можно повторить, подставляя \tilde y_i=y_i .

Модифицированный метод Эйлера с пересчетом имеет второй порядок точности, однако для его реализации необходимо как минимум дважды вычислять f(x, y). Метод Эйлера с пересчетом представляет собой разновидность методов Рунге-Кутты (предиктор-корректор).

Двухшаговый метод Адамса — Башфорта[править | править вики-текст]

Другой способ повысить точность метода заключается в использовании не одного, а нескольких вычисленных ранее значений функции:

 y_{i+1} = y_i + \tfrac32 h f(x_{i}, y_{i}) - \tfrac12 h f(x_{i-1}, y_{i-1}).

Это линейный многошаговый метод.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Эйлер Л. Интегральное исчисление. Том 1. — М.: ГИТТЛ. 1956. [1]
  • Бабенко К. И. Основы численного анализа. — М.: Наука. 1986.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Эйлер Л. Интегральное исчисление, том 1, раздел 2, гл. 7.
  2. Stoer, Josef & Bulirsch, Roland (2002), «Introduction to Numerical Analysis» (3rd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95452-3 
  3. 1 2 Математический энциклопедический словарь. — М.: «Сов. энциклопедия », 1988. — С. 641.