Метод бесконечного спуска

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике, метод бесконечного спуска — это метод доказательства от противного, основанный на том, что множество натуральных чисел вполне упорядочено.

Часто метод бесконечного спуска используется для доказательства того, что у некоторого уравнения нет решений по следующей схеме. Из предположения, что решение существует, вытекает существование другого решения, которое в некотором смысле меньше. Тогда можно построить бесконечную цепочку решений, каждое из которых меньше предыдущего. Это вызывает противоречие с тем, что в любом подмножестве множества натуральных чисел есть минимальный элемент, значит предположение о существовании начального решения неверно.

Метод бесконечного спуска был существенно развит Пьером Ферма.

Пример[править | править вики-текст]

Доказательство иррациональности √2[править | править вики-текст]

Предположим, что  — рациональное число. Это означает, что его можно записать в следующем виде:

для некоторых натуральных чисел и . Тогда квадрат этого числа равен

Это означает, что  — чётное число. Пусть и

Подставляем вместо :

Делим на 2 обе части:

значит,  — чётное число. Таким образом, исходные числа и можно одновременно разделить на 2 и получить другое представление . С полученными числами можно проделать ту же операцию, и так далее бесконечное число раз. Таким образом строится бесконечно убывающая последовательность натуральных чисел, что невозможно. Значит, не является рациональным числом. Следовательно, иррационален.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]