Метод медленно меняющихся амплитуд

Метод медленно меняющихся амплитуд (МММА, иногда метод Ван-дер-Поля) применяется для приближенного решения нелинейных уравнений, близких к линейным, а колебания близки к гармоническим. Метод основан на допущении, что амплитуда (огибающая) волны меняется медленно во времени и пространстве по сравнению с периодом волны.

Метод применяется, например, в радиофизике, нелинейной оптике.

Пример

Рассмотрим уравнение электромагнитной волны:

$\nabla ^{2}E-\mu _{0}\,\varepsilon _{0}\,{\frac {\partial ^{2}E}{\partial t^{2}}}=0,$

где k₀ и ω₀ волновой вектор и угловая частота волны E(r,t), и используем следующее представление:

$E(\mathbf {r} ,t)=\Re \left[E_{0}(\mathbf {r} ,t)\,e^{i\,(\mathbf {k} _{0}\,\cdot \,\mathbf {r} -\omega _{0}\,t)}\right],$

где $\scriptstyle \Re [\cdot ]$ обозначает вещественную часть.

В приближении медленно меняющейся амплитуды предполагается, что комплексная амплитуда E₀(r, t) меняется медленно в зависимости от r и t. Это также предполагает, что E₀(r, t) представляет волну, распространяющуюся вперед в направлении k₀. В результате медленного изменения E₀(r, t), производными высокого порядка можно пренебречь:

$\displaystyle \left|\nabla ^{2}E_{0}\right|\ll \left|{\vec {k}}_{0}\cdot \nabla E_{0}\right|$   и   $\displaystyle \left|{\frac {\partial ^{2}E_{0}}{\partial t^{2}}}\right|\ll \left|\omega _{0}\,{\frac {\partial E_{0}}{\partial t}}\right|,$   ,  $k_{0}=|\mathbf {k} _{0}|.$

После применения приближения и обнуления высших производных волновое уравнение запишется как :

$2\,i\,\mathbf {k} _{0}\,\cdot \nabla E_{0}+2\,i\,\omega _{0}\,\mu _{0}\,\varepsilon _{0}\,{\frac {\partial E_{0}}{\partial t}}-\left(k_{0}^{2}-\omega _{0}^{2}\,\mu _{0}\,\varepsilon _{0}\right)\,E_{0}=0.$

С учетом того, что k₀ и ω₀ удовлетворяют дисперсионному соотношению:

$k_{0}^{2}-\omega _{0}^{2}\,\mu _{0}\,\varepsilon _{0}=0.\,$

получаем:

$\mathbf {k} _{0}\cdot \nabla E_{0}+\omega _{0}\,\mu _{0}\,\varepsilon _{0}\,{\frac {\partial E_{0}}{\partial t}}=0.$

Это гиперболическое уравнение, как и исходное волновое уравнение, но теперь первого, а не второго порядка. Оно верно для когерентных распространяющихся в близких к направлению k₀ волн. Часто такое уравнение решить значительно проще, чем исходное.

Параболическое приближение

Рассмотрим распространение вдоль направления z, то есть k₀||z.Тогда метод применяется только к производным по координате z и по времени. Если $\scriptstyle \Delta _{\perp }=\partial ^{2}/\partial x^{2}+\partial ^{2}/\partial y^{2}$ — оператор Лапласа в плоскости x-y, получим в результате:

$k_{0}{\frac {\partial E_{0}}{\partial z}}+\omega _{0}\,\mu _{0}\,\varepsilon _{0}\,{\frac {\partial E_{0}}{\partial t}}-{\tfrac {1}{2}}\,i\,\Delta _{\perp }E_{0}=0.$

Это параболическое уравнение, поэтому приближение называется также параболическим приближением.

См. также

• Гауссов пучок
• Квазиклассическое приближение