Метод обратной задачи рассеяния

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Ме́тод обра́тной зада́чи рассе́яния — аналитический метод решения задачи Коши для нелинейных эволюционных уравнений. Основан на связи нелинейного уравнения с данными рассеяния семейства вспомогательных линейных дифференциальных операторов, дающей возможность по эволюции данных рассеяния восстановить эволюцию решения нелинейного уравнения.

Метод представляет собой аналог метода Фурье решения линейных дифференциальных уравнений в частных производных. Роль преобразования Фурье при этом играет отображение коэффициентных функций линейного дифференциального оператора в совокупность данных рассеяния[1]. При применении метода необходимо решать обратную задачу рассеяния, которая состоит в восстановлении линейного дифференциального оператора по его данным рассеяния.

В основе метода лежит представление исследуемого нелинейного уравнения в виде условия совместности системы линейных уравнений, называемое представлением Лакса[2].

Для интегрируемых методом обратной задачи уравнений характерно существование специальных точных решений — солитонов («уединённых волн»).

История[править | править код]

Взаимодействие солитонов: двухсолитонное решение уравнения Кортевега — де Фриза

Метод обратной задачи рассеяния берет начало в 1967 году в работе К. С. Гарднера, Дж. М. Грина, М. Д. Крускала и Р. М. Миуры, применивших его к уравнению Кортевега — де Фриза (КдФ)[3]. Это уравнение было выведено в конце XIX века для описания волн на мелкой воде. Тогда же были получены некоторые его точные решения — солитоны. Интерес к солитонам возобновился в связи с исследованиями по физике плазмы в 60-х годах XX века. В 1965 году М. Д. Крускал и Н. Забужский обнаружили путём численного моделирования, что солитоны уравнения Кортевега — де Фриза сталкиваются упруго (эффект, совершенно не характерный для линейных волн)[4]. Этот результат дал толчок к новым аналитическим исследованиям, которые в результате привели к возникновению метода обратной задачи.

Дальнейшее развитие метод получил в работе П. Лакса, который вскрыл лежащий в основе алгебраический механизм[5]. Позднее К. С. Гарднер, В. Е. Захаров и Л. Д. Фаддеев построили теорию уравнения Кортевега — де Фриза как гамильтоновой системы.

В 1971 году В. Е. Захаров и А. Б. Шабат применили метод обратной задачи к другому важному для физики уравнению — нелинейному уравнению Шрёдингера[6]. Вскоре М. Вадати, используя идеи прямой и обратной задачи рассеяния, предложил решение модифицированного уравнения Кортевега — де Фриза (мКдФ), а М. Абловиц, Д. Кауп, А. Ньюэлл и Х. Сигур проделали то же самое для уравнения синус-Гордона[7]. Затем М. Абловиц, Д. Кауп, А. Ньюэлл и Х. Сигур предложили схему, позволяющую по заданной задаче рассеяния построить иерархию нелинейных эволюционных уравнений, решаемых методом обратной задачи[8].

В дальнейшем при помощи метода обратной задачи рассеяния было построено решение для разностного аналога уравнения Кортевега — де Фриза — цепочки Тоды, изучены периодические и почти периодические решения уравнения Кортевега — де Фриза (до этого речь шла о решениях, быстро убывающих на бесконечности), получены решения других нелинейных уравнений[9][10].

Описание метода на примере уравнения Кортевега — де Фриза[править | править код]

Связь с оператором Штурма — Лиувилля[править | править код]

Уравнение Кортевега — де Фриза

является условием совместности переопределённой системы линейных уравнений:

где

— оператор Штурма — Лиувилля,

и эквивалентно следующему операторному соотношению, называемому представлением Лакса:

[2][11]


Прямая задача рассеяния[править | править код]

Спектр оператора Штурма — Лиувилля (оператора Шрёдингера)

с потенциалом , достаточно быстро убывающим при , состоит из двух компонент: непрерывной, включающей положительную полуось , и конечного числа отрицательных дискретных собственных значений . Для характеристики непрерывной части спектра вводится решение уравнения , определяемое асимптотическими граничными условиями

Данные условия однозначно определяют решение , а также коэффициенты прохождения и отражения . Собственным значениям отвечают собственные функции и нормировочные константы

Данными рассеяния оператора называется набор величин:

Прямая задача рассеяния заключается в определении данных рассеяния по заданному потенциалу [12].

Обратная задача рассеяния[править | править код]

Обратная задача рассеяния состоит в восстановлении оператора (а именно, его потенциала ) по данным рассеяния. Один из основных методов решения обратной задачи рассеяния основан на уравнении ГельфандаЛевитанаМарченко:

Это интегральное уравнение Фредгольма второго рода относительно функции (при каждом фиксированном ). Оно связывает функцию , которая строится по данным рассеяния:

с функцией , по которой можно найти потенциал:

[13]

Эволюция данных рассеяния[править | править код]

Если функция меняется во времени как решение уравнения Кортевега — де Фриза, то эволюция данных рассеяния во времени имеет вид

Верно и обратное[14].

Схема метода[править | править код]

Схема метода обратной задачи рассеяния: по начальному условию u(x, 0) находятся данные рассеяния J(0), по ним строятся данные рассеяния J(t), затем решается обратная задача рассеяния и находится решение u(x, t) нелинейного уравнения.

Решение задачи Коши для уравнения Кортевега — де Фриза методом обратной задачи рассеяния разбивается на три этапа:

  1. Решить прямую задачу рассеяния: по заданному начальному условию найти данные рассеяния .
  2. По найти , используя формулы для эволюции данных рассеяния.
  3. Решить обратную задачу рассеяния: по данным рассеяния восстановить функцию  — искомое решение задачи Коши.

Стоит отметить, что все этапы схемы связаны с изучением линейных задач[14].

Солитоны[править | править код]

Прямая и обратная задачи рассеяния решаются точно для безотражательных потенциалов, для которых коэффициент отражения тождественно равен нулю. В этом случае решение обратной задачи имеет вид

где  — матрица с элементами

(здесь  — символ Кронекера). Свойство безотражательности сохраняется по времени. Временная динамика безотражательных потенциалов получается заменой

в определении матрицы . Простейший безотражательный потенциал с одним дискретным уровнем называется солитоном и имеет вид

где введено обозначение

[15]

Интегрируемые уравнения[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Захаров В. Е. и др. Теория солитонов: метод обратной задачи, 1980, с. 20.
  2. 1 2 Захаров В. Е. Обратной задачи рассеяния метод, 1992.
  3. Gardner C. S.; Greene J. M., Kruskal M. D., Miura R. M. Method for Solving the Korteweg-deVries Equation (англ.) // Physical review letters. — 1967. — Vol. 19. — P. 1095–1097.
  4. Zabusky N. J., Kruskal M. D. Interaction of solitons in a collisionless plasma and the recurrence of initial states (англ.) // Phys. Rev. Lett.. — 1965. — Vol. 15. — P. 240-243.
  5. Lax P. D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves (англ.) // Comm. Pure Appl. Math.. — 1968. — Vol. 21. — P. 467-490.
  6. Захаров В. Е., Шабат А. Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейной среде // ЖЭТФ. — 1971. — Т. 61. — С. 118-134.
  7. Ablowitz M. J., Kaup D. J., Newell A. C., Segur H. Method for solving the sin-Gordon equation (англ.) // Phys. Rev. Lett. — 1973. — Vol. 30. — P. 1262-1264.
  8. Ablowitz M. J., Kaup D. J., Newell A. C., Segur H. The inverse scattering transform — Fourier analysis for nonlinear problems (англ.) // Stud. Appl. Math.. — 1974. — Vol. 53. — P. 249-315.
  9. Захаров В. Е. и др. Теория солитонов: метод обратной задачи, 1980, Предисловие.
  10. Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи, 1987, п. 1.1.
  11. Захаров В. Е. и др. Теория солитонов: метод обратной задачи, 1980, с. 34.
  12. Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и солитоны. Методы решения и исследования эволюционных уравнений, 1985, с. 26-28.
  13. Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и солитоны. Методы решения и исследования эволюционных уравнений, 1985, с. 28.
  14. 1 2 Захаров В. Е. и др. Теория солитонов: метод обратной задачи, 1980, с. 36.
  15. Захаров В. Е. и др. Теория солитонов: метод обратной задачи, 1980, Глава I, §3.

Литература[править | править код]