Доказательство от противного

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Метод от противного»)
Перейти к навигации Перейти к поиску

Доказательство «от противного» (лат. contradictio in contrarium), или апагогическое косвенное доказательство[1], — вид доказательства, при котором «доказывание» некоторого суждения (тезиса доказательства) осуществляется через опровержение отрицания этого суждения — антитезиса[2]. Этот способ доказательства основывается на истинности закона двойного отрицания в классической логике.

Этот способ очень важен для математики, где существует много суждений, которые не могут быть доказаны по-другому[3].

Схема доказательства[править | править код]

Доказательство утверждения проводится следующим образом. Сначала принимают предположение, что утверждение неверно, а затем доказывают, что при таком предположении было бы верно некоторое утверждение , которое заведомо неверно.

Из определения импликации следует, что, если ложно, то формула истинна тогда и только тогда, когда ложно, следовательно утверждение истинно.

Полученное противоречие показывает, что исходное предположение было неверным, и поэтому верно утверждение , которое по закону двойного отрицания равносильно утверждению .

В интуиционистской логике доказательство от противного не принимается, так же как не действует закон исключённого третьего[1].

Примеры[править | править код]

В математике[править | править код]

Доказательство иррациональности числа .

Допустим противное: число рационально, то есть представляется в виде несократимой дроби , где  — целое число, а  — натуральное. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

, откуда .

Отсюда следует, что чётно, значит, чётно и ; следовательно, делится на 4, а значит, и тоже чётны. Полученное утверждение противоречит несократимости дроби . Значит, исходное предположение было неверным, и  — иррациональное число.

В повседневной жизни[править | править код]

Врач, разъясняя пациенту что тот не болен гриппом, может использовать такие рассуждения: «Если бы вы действительно были больны гриппом, то у вас была бы повышена температура, был заложен нос и т. д. Но всё это у вас отсутствует, значит, нет и гриппа»[3].

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. 1 2 Косвенное доказательство//Философия: Энциклопедический словарь. — М.: Гардарики. Под редакцией А. А. Ивина. 2004.
  2. Доказательство от противного//Философия: Энциклопедический словарь. — М.: Гардарики. Под редакцией А. А. Ивина. 2004.
  3. 1 2 Доказательство от противного // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.