Метод регуляризации Тихонова

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Метод регуляризации Тихонова — алгоритм, позволяющий находить приближённое решение некорректно поставленных операторных задач вида . Был разработан А.Н. Тихоновым в 1965 г.[1].Основная идея заключается в нахождении приближённого решения уравнения в виде , где — регуляризирующий оператор. Он должен гарантировать, что при приближении к точному значению при приближённое решение стремилось бы к желаемому точному решению уравнения .[2]

Регуляризирующий оператор[править | править вики-текст]

Оператор , зависящий от параметра называется регуляризующим для уравнения , если он обладает свойствами:

  • Определён для всякого и любого .
  • Если выполняется , то существует такое , что для любого найдётся такое , что если , то , где и . - метрика в пространстве , или же расстояние между векторами и . Аналогично - метрика в пространстве .

Способ построения регуляризирующих операторов[править | править вики-текст]

Для широкого класса уравнений А. Н. Тихонов показал, что решение задачи минимизации функционала можно рассматривать как результат применения регуляризирующего оператора, зависящего от параметра . Функционал называется стабилизатором задачи .

Пример применения[править | править вики-текст]

Найдём нормальное (наиболее близкое к началу координат) решение системы линейных уравнений с точностью, соответствующей точности задания элементов матрицы и столбца в случае, когда значения элементов матрицы и столбца свободных членов заданы лишь приближённо.

Постановка задачи[править | править вики-текст]

Рассмотрим систему линейных уравнений в матричной форме: . Назовем сферическими нормами величины . Обозначим как известные приближённые значения элементов матрицы и столбца . Матрицу и столбец будем называть - приближением матрицы и столбца , если выполняются неравенства . Введем в рассмотрение функционал: . Теорема Тихонова сводит вопрос о приближённом нахождении нормального решения системы уравнений к отысканию того элемента , на котором достигает минимальное значение этот функционал.

Теорема Тихонова[править | править вики-текст]

Пусть матрица и столбец удовлетворяют условиям, обеспечивающим совместность системы , — нормальное решение этой системы, -приближение матрицы , -приближение столбца , и — какие-либо возрастающие функции , стремящиеся к нулю при и такие, что . Тогда для любого найдётся положительное число такое, что при любом и при любом , удовлетворяющем условию , элемент , доставляющий минимум функционалу , удовлетворяет неравенству [3][4].

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Тихонов А.Н. О некорректных задачах линейной алгебры и устойчивом методе их решения // ДАН СССР, 1965, т. 163, № 3, с. 591-594
  2. Арсенин, 1974, с. 264.
  3. Линейная алгебра, 2004, с. 100.
  4. Методы решения некорректных задач, 1979, с. 119.

Литература[править | править вики-текст]