Метод характеристик

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Метод характеристик (англ. Method of characteristics) — метод решения дифференциальных уравнений в частных производных. Обычно применяется к решению уравнений в частных производных первого порядка, но он может быть применен и к решению гиперболических уравнений более высокого порядка. Метод заключается в приведении уравнения в частных производных к семейству обыкновенных дифференциальных уравнений.

Характеристики уравнения первого порядка[править | править вики-текст]

Метод заключается в отыскании кривых (именуемых характеристиками), вдоль которых уравнение в частных производных превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение. Как только найдены обыкновенные дифференциальные уравнения, их можно решить вдоль характеристик и найденное решение превратить в решение исходного уравнения в частных производных.

Рассмотрим следующее квазилинейное уравнение относительно неизвестной функции u(x,y)

a(x,y,u) \frac{\partial u}{\partial x}+b(x,y,u) \frac{\partial u}{\partial y}=c(x,y,u). (1)

Рассмотрим поверхность z = u(x,y) в R3. Нормаль к этой поверхности задается выражением

(u_x(x,y),u_y(x,y),-1).\,

В результате получим [1], что уравнение (1) эквивалентно геометрическому утверждению о том, что векторное поле

(a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z))\,

является касательным к поверхности z = u(x,y) в каждой точке.

Также уравнения характеристик могут быть записаны в виде [2]:

\frac{dx}{a(x,y,z)} = \frac{dy}{b(x,y,z)} = \frac{dz}{c(x,y,z)},

или же, если x(t), y(t), z(t) есть функции параметра t:


\begin{array}{rcl}
\frac{dx}{dt}&=&a(x,y,z)\\
\frac{dy}{dt}&=&b(x,y,z)\\
\frac{dz}{dt}&=&c(x,y,z).
\end{array}

Пример[править | править вики-текст]

В качестве примера рассмотрим уравнение переноса (возникает при решении задачи о свободном расширении газа в пустоту):

a \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial t} = 0\,

где a\, постоянная, а u\, - функция переменных x\, и t\,.

Нам бы хотелось свести это дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка к обыкновенному дифференциальному уравнению вдоль соответствующей кривой, т.е. получить уравнение вида

 \frac{d}{ds}u(x(s), t(s)) = F(u, x(s), t(s)) ,

где (x(s),t(s))\, - характеристика. Вначале мы устанавливаем

\frac{d}{ds}u(x(s), t(s)) = \frac{\partial u}{\partial x} \frac{dx}{ds} + \frac{\partial u}{\partial t} \frac{dt}{ds}

Теперь, если положить  \frac{dx}{ds} = a и \frac{dt}{ds} = 1, получим

 a \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial t}  \,, что является левой частью уравнения переноса, с которого мы начали. Таким образом,
\frac{d}{ds}u = a \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial t}  = 0.

Как видно, вдоль характеристики (x(s), t(s))\, исходное уравнение превращается в ОДУ u_s = F(u, x(s), t(s)) = 0\,, которое говорит о том, что вдоль характеристик решение постоянное. Таким образом, u(x_s, t_s) = u(x_0, 0)\,, где точки (x_s, t_s)\, и (x_0, 0)\, лежат на одной характеристике. Видно, что для нахождения общего решения достаточно найти характеристики уравнения, решая следующую систему ОДУ:

  • \frac{dt}{ds} = 1, при t(0)=0\, решение — t=s\,,
  • \frac{dx}{ds} = a, при x(0)=x_0\, решение — x=as+x_0=at+x_0\,,
  • \frac{du}{ds} = 0, при u(0)=f(x_0)\, решение — u(x(t), t)=f(x_0)=f(x-at)\,.

В нашем случае, характеристики - это семейство прямых с наклоном a\,, и решение u\, остается постоянным вдоль каждой из характеристик.

Ссылки[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]