Метод характеристик

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Метод характеристик — метод решения дифференциальных уравнений в частных производных. Обычно применяется к решению уравнений в частных производных первого порядка, но он может быть применен и к решению гиперболических уравнений более высокого порядка.

Принцип[править | править код]

Метод заключается в приведении уравнения в частных производных к семейству обыкновенных дифференциальных уравнений.

Для этого требуется найти кривые (именуемых характеристиками), вдоль которых уравнение в частных производных превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение. Как только найдены обыкновенные дифференциальные уравнения, их можно решить вдоль характеристик и найденное решение превратить в решение исходного уравнения в частных производных.

Примеры[править | править код]

Квазилинейное уравнение на плоскости[править | править код]

Рассмотрим следующее квазилинейное уравнение относительно неизвестной функции

Рассмотрим поверхность в . Нормаль к этой поверхности задается выражением

В результате получим, что уравнение эквивалентно геометрическому утверждению о том, что векторное поле

является касательным к поверхности в каждой точке.

В этом случае уравнения характеристик могут быть записаны в виде[1]:

или же, если x(t), y(t), z(t) есть функции параметра t:

То есть поверхность образована однопараметрическим семейством описанных кривых. Такая поверхность полностью задаётся одной кривой на ней трансверсальной к векторному полю .

Уравнение переноса[править | править код]

Рассмотрим частный случай уравнения выше, так называемое уравнение переноса (возникает при решении задачи о свободном расширении газа в пустоту):

где постоянная, а  — функция переменных и .

Нам бы хотелось свести это дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка к обыкновенному дифференциальному уравнению вдоль соответствующей кривой, то есть получить уравнение вида

,

где  — характеристика.

Вначале мы устанавливаем

Теперь, если положить и , получим

, что является левой частью уравнения переноса, с которого мы начали. Таким образом,

Как видно, вдоль характеристики исходное уравнение превращается в ОДУ , которое говорит о том, что вдоль характеристик решение постоянное. Таким образом, , где точки и лежат на одной характеристике. Видно, что для нахождения общего решения достаточно найти характеристики уравнения, решая следующую систему ОДУ:

  • , при решение — ,
  • , при решение — ,
  • , при решение — .

В нашем случае, характеристики — это семейство прямых с наклоном , и решение остается постоянным вдоль каждой из характеристик.

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

  • Courant, Richard & Hilbert, David (1962), Methods of Mathematical Physics, Volume II, Wiley-Interscience 
  • Delgado, Manuel (1997), "The Lagrange-Charpit Method", SIAM Review Т. 39 (2): 298–304, DOI 10.1137/S0036144595293534 
  • Evans, Lawrence C. (1998), Partial Differential Equations, Providence: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2 
  • John, Fritz (1991), Partial differential equations (4th ed.), Springer, ISBN 978-0-387-90609-6 
  • Polyanin, A. D.; Zaitsev, V. F. & Moussiaux, A. (2002), Handbook of First Order Partial Differential Equations, London: Taylor & Francis, ISBN 0-415-27267-X 
  • Polyanin, A. D. (2002), Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, ISBN 1-58488-299-9 
  • Sarra, Scott (2003), "The Method of Characteristics with applications to Conservation Laws", Journal of Online Mathematics and its Applications .
  • Streeter, VL & Wylie, EB (1998), Fluid mechanics (International 9th Revised ed.), McGraw-Hill Higher Education